马氏过程的平稳性与拟平稳性

This project focuses on the stationarity and quasi-stationarity of Markov process，which includes that, based on the stationarity of Markov process, we find the new Dirichlet principle for the asymmetric Markov process and study their stationarity; explore the intrinsic relationship between the stationarity and quasi-stationarity of Markov process, especially the duality between them；via the breakthrough on the linear birth-death process, we describe all quasi-stationary distributions for the general birth-death process when the quasi-stationary distributions are not unique；give the criteria for the attraction domains and estimate the convergence rate inside the attraction domains; these results are expected to extend to general branching processes and diffusion processes.

本项目旨在研究马氏过程的平稳性与拟平稳性，内容包括：在已有马氏过程平稳性的基础上, 通过建立新的Dirichlet变分原理，研究非对称马氏过程的平稳性；揭示平稳性与拟平稳性之间的内在关系，特别是它们之间的对偶关系；以线性生灭过程为突破口，在拟平稳分布非唯一时，给出一般生灭过程的所有拟平稳分布的刻画，相应的吸引域判定以及收敛速度的估计；有关结果进一步推广到几类重要的分支过程和扩散过程。

马氏过程的平稳性与拟平稳性是Markov过程研究的前沿课题，本项目研究内容包括：在有限Markov链上，我们的研究解决了Aldous-Fill书中1995以来的一个开问题；同时我们引入的有关容度的变分公式可以拓展到不可配称的跳过程，高维扩散过程以及一大类Hunt过程上。在遍历性方面，得到了Markov过程非强遍历的Lyapunov判断准则，给出了一般可逆跳过程的多项式收敛的判定；建立非时齐Markov的几类泛函不等式用于其全变差的收敛；构造了基于直线上两测度的广义扩散过程的构造及相关的Hardy常数估计；在拟平稳性方面，对生灭过程具有无穷正则边界情况的最小过程的拟平稳分布给出刻画; 针对单生（单死）过程的一系列数字特征的表达式得以建立。