非正则跳过程的拟平稳分布

This project is mainly devoted to quasi-stationary distributions and speed of convergence to quasi-stationarity for some irregular jump processes (i.e. Q-matrix isn’t totally stable or Q-process isn’t unique). This project consists of the following four parts: 1) The criteria for existence of quasi-stationary distributions for minimal birth-death process will be studied. It is hoped that we can give a quantitative estimate of the speed of convergence to quasi-stationarity for minimal birth-death process. 2) We want to establish the criteria for existence of quasi-stationary distributions for birth-death processes with instantaneous state. 3) We are interested in study the existence and uniqueness of quasi-stationary distributions for irregular and regular birth-death processes with killing. 4) Quasi-stationary distributions for nonlinear branching processes with quadratic coefficient will be studied. These components are the promotion and development of the previous results on regular jump processes.

本项目将研究几类非正则跳过程（Q矩阵不是全稳定或者过程爆炸）的拟平稳分布存在性准则及收敛到拟平稳分布的速度估计。主要研究内容包含：1、非唯一性条件下，最小生灭过程拟平稳分布的存在性准则及收敛速度估计；2、带瞬时态的生灭过程的拟平稳分布存在性判别准则；3、在过程唯一或非唯一的条件下，带killing的生灭过程的拟平稳分布存在性准则；4、具有二次系数的非线性分支过程的拟平稳分布存在性唯一性问题。这些研究内容是对之前关于正则跳过程研究的推广和发展。

本项目主要研究了几类非正则跳过程的拟平稳分布、衰减性质及相关问题。这些研究内容是对之前关于正则跳过程研究的推广和发展。项目总体进展概述如下：.（1）证明了非线性分支过程的衰减参数关于非线性参数的单调性，给出了不变测度的形式，证明了二次分支过程的衰减参数等于某个二阶微分算子的第一特征值，借助Hardy不等式，给出了二次分支过程衰减参数的上下界估计，并构造了两个例子来说明。.（2）对于具有正则边界的生灭过程，得到了最小过程的一致衰减速率和拟平稳分布，证明了最大过程的强遍历性并得到了最快强平稳时的分布，建立了最大过程的最快强平稳时的分布与最小过程的拟平稳分布之间的联系，给出了两个实例。.（3）研究了带killing的生灭过程，给出了最小过程拟平稳分布的存在性唯一性的简单且有效的判别准则，证明了过程非唯一时最小过程的拟平稳分布是存在且唯一的。通过h变换，给出了生灭过程与带killing的生灭过程之间的联系。最后用三个例子来说明结果。.（4）对于双边生灭过程，引入了一种保持特征函数不变的分裂方法，证明了在双边流出边界条件下最小生灭过程拟平稳分布的存在性和唯一性，证明了在流入和流出的混合边界条件下最小生灭过程拟平稳分布的存在性和唯一性。给出了示性函数的一些应用。