马尔可夫过程的拟平稳分布及相关问题

Today quasi-stationary distributions (in short, qsds) of Markov processes have been one of the most active research area, which is extensively applied to life science, chemistry, physics and other fields. The existence, uniqueness of qsds and the estimation of convergence rate for some Markov processes (for example, birth-death processes, one-dimensioned diffusion processes, and so on) have been obtained by us and others. In this application report, we will furthermore study the existence, uniqueness, construction and attraction domain of qsds for generalized Markov processes. Duality provides us with a powerful tool for analyzing qsds' theory, one of main aims of this report is to give systematicly and deeply study dual properties of Markov processes. Another of main aims of this report is give the estimation of eigenvalue, since we have found that the rate of conditional process converging to qsd is equal to the difference between the second non-trivial eigenvalue and the first one for the generator of the original process. Finally, we would like to apply our results to other research fields such as finance mathematics. Therefore, in this report we will try not only to solve several key open problems in mathematies, but also to apply them to biological populations, interacting particle systems and finance mathematics and so on.

马尔可夫过程的拟平稳分布是目前随机过程理论研究的热点问题之一，它在生命科学、化学以及物理学等领域有重要应用。本项目在我们前期工作已得到几类马尔可夫过程的拟平稳分布的存在性及唯一性条件、条件极限过程收敛速度的估计等理论研究基础上，进一步研究一般马尔可夫过程的拟平稳分布存在性、唯一性、吸引域及构造等问题。对偶方法作为研究拟平稳分布理论的主要工具之一，我们将对它进行系统深入的研究。在研究条件过程收敛到拟平稳分布的速度问题时，人们发现该速度与原过程生成元的第二非平凡特征值和第一非平凡特征值的差密切相关,因此特征值的估计也是我们研究重点之一。我们还将拟平稳分布的理论应用到其他领域的研究中。综上所述，本项目主要解决数学理论研究中的几个关键问题，其结果可广泛应用于生物种群、基因学、无穷粒子系统和数理金融等领域的研究。

马尔可夫过程的拟平稳分布是目前随机过程理论研究的热点问题之一，它在生命科学、化学以及物理学等领域有重要应用。本项目在我们前期工作已得到几类马尔可夫过程的拟平稳分布的存在性及唯一性条件等理论研究基础上，进一步研究了马尔可夫过程的拟平稳分布存在性、唯一性、吸引域及构造等问题，特别对一维扩散过程的拟平稳分布的存在性、唯一性、吸引域及构造等问题，得到许多有意义的结果。在我们研究中发现拟平稳分布和拟遍历分布的密切联系。对偶方法作为研究拟平稳分布理论的工具之一，我们对它进行了系统深入的研究。我们还研究了拟平稳分布的理论在保险精算中的应用。本项目主要解决了马尔可夫过程的拟平稳分布研究中的几个关键问题，其结果可广泛应用于生物种群、基因学、无穷粒子系统和数理金融等领域的研究。