动力学方程及其相关流体力学问题

本项目研究动力学方程以及相关流体力学模型的数学理论. 主要包括具有电磁场效应的Boltzmann方程和Landau方程解的适定性、正则性、大时间行为和流体力学极限；具有相对论效应和量子效应的Boltzmann方程和Landau方程解的适定性、正则性和大时间行为；流体力学模型如Navier-Stokes-Poisson 方程组和Navier-Stokes-Maxwell方程组弱解的整体存在性、唯一性、正则性和各种小尺度渐近极限； Navier-Stokes-Poisson 方程组和Navier-Stokes-Maxwell方程组小初值问题光滑解的适定和大时间行为；可压的磁流体方程组小初值问题光滑解的适定性, 大初值弱解的适定性等等. .上述研究内容不仅是国际上十分重视的、前沿的、具有主流兴趣的重要研究课题，有极其重要的理论意义; 而且紧密联系应用科学和工程技术,有十分广泛的应用前景.

本项目研究动力学方程及其相关流体力学模型的数学问题。我们基本按照项目计划开展研究工作，已取得的主要研究成果叙述如下： 研究了带大外力项的Boltzmann方程Cauchy问题古典解的整体存在性； 研究了量子Vlsov-Poisson-Boltzmann方程组解的存在性问题； 研究了具有软势的Boltzmann方程在初值靠近局部Maxwell附近时解的整体存在性，我们考虑的局部Maxwell分布宏观上是Navier-Stokes 方程组的稀疏波解，这个结果表明Boltzmann方程稀疏波解的稳定性；研究了从Vlasov-Maxwell-Boltzmann 方程组到Euler-Maxell方程组的收敛性问题， 建立了宏观模型与介观模型之间的联系； 研究了等熵可压缩磁流体力学方程组的零Mach数极限问题，严格证明了从可压缩磁流体力学方程组到不可压缩磁流体力学方程组的收敛性；研究了非等熵情形的可压缩磁流体力学方程组的零Mach数极限问题，在局部光滑解的框架下证明了极限的严格收敛性。研究了可压缩电磁流体力学方程组的零电介质常数极限问题，证明了从等熵情形的Navier-Stokes-Maxwell方程组到可压缩磁流体力学方程组的收敛性；研究了等熵可压缩磁流体力学方程组具有小初值情形的古典解的存在性并且给出了最佳衰减估计等等。