具耗散结构的流体力学方程及空气动力学方程的高维层问题

In this program, the half space problems, the boundary layer problems and shock layer problems for fluid dynamic equations with dissipation and kinetic equations will be studied. We will construct the corresponding Green’s functions for nonlinear stability and point wise convergence structure. The program begins with investigation of the half space problem for Navier-Stokes equations with homogeneous Dirichlet boundary conditions. We will focus on how to construct Green’s function based on recombination lemma, Laplace-Fourier path, asymptotic analysis, singularity removal and weighted energy method. For half space problem of Boltzmann equation, we focus on the definition of macro-micro decomposition of the symbols in transformed domain for full boundary data. For boundary layer problems and shock layer problems, we will establish the connection with half space problem and construct Green’s functions for variable coefficient problems with Green’s functions for constant coefficient problems and proper iteration schemes. In this program, not only new tools and methodologies but also new insights will be introduced to overcome the difficulties we will meet.

在本项目中，我们将主要考虑带耗散机制的流体力学方程、空气动力学方程在高维情形时半平面问题、边界层问题和激波问题。对于这三种问题，我们都试图构造相应的Green函数，获得非线性稳定性和逐点的收敛结构。整个项目的开展将以Navier-Stokes方程具齐次Dirichlet边界条件的半平面问题作为基础。在这一问题的处理上，我们的重点在于如何结合重整引理和Laplace-Fourier路径、渐近分析和奇性分离、加权能量估计来求得算子的逆，从而构造Green函数。对于空气动力学方程（主要指Boltzmann方程）的半平面问题，重点放在建立频域中针对算子的宏观－微观分解，以获得无穷维系统的完整边界数据。对于边界层问题和激波问题，我们将建立其与初边值问题Green函数的联系，透过常系数问题和恰当的迭代格式来处理非常系数问题。在本项目的研究中，我们将不仅构造新的工具和方法，更将引入一些新的观点和视角。

作为实际问题重要描述和研究手法的偏微分方程，初边值问题的研究往往比初值问题的研究更能与实际相联系。而从数学理论研究的难易程度来看，边界的存在往往会带来很多的困难。尤其在高维情形之下，即使对一些非常著名常见的方程来说，其初边值问题比起全空间问题的研究成果也往往是差之甚远。本项目着眼于通过解的精细结构的获取，研究高维半平面问题中边界与非线性项等多种机制的相互作用，从而获取解的存在性和大时间行为。对于用以描述多孔介质中流体行为的带阻尼项Euler方程，我们对其半平面问题（包括一维和高维）已有了较为深入的了解；并以此问题作为契机，初步建立了半平面问题Green函数方法的一般框架，这一研究成果既可作用于一般的高维初边值问题上，也为其它问题（如平面激波高维扰动的稳定性等）准备好了工具。