量子纠缠及其在局域酉变换下的等价分类研究

Quantum information theorem is a rapidly developing research field, which has a close relation with mathematic, quantum mechanics, computer science, information science and communication field. In terms of the importance that the quantum entanglement have played in quantum computation and quantum information processing, we will investigate some important theory problems on quantum entanglement from the view of algebra, including constructing separability criterions and Local unitary invariants based on the Bloch representations for density matrices and the relationship between the special unitary group and the special orthogonal group. We will further investigate the relationship between the invariants and concurrence, and the classifications under local unitary operations.

量子信息理论是近年来发展非常迅速的研究领域，它与数学、量子力学、计算机科学、信息论及通讯等领域有密切联系。鉴于量子纠缠态在量子计算与量子信息处理中的重要作用，本计划主要利用代数方法研究关于量子纠缠态的一些重要理论问题，包括基于密度矩阵的Bloch表示和特殊正交群在特殊酉群中的嵌入关系构造量子态的可分性判据、局域酉等价不变量，进而分析不变量与并发度之间的关系，以及量子态在局域酉变换下的等价分类等。

量子纠缠是量子力学现象中的突出特征之一, 它在量子信息处理, 如量子计算、量子隐形传态、 量子密钥的建立、量子密集编码中起着非常重要的作用。本项目主要利用代数的方法分析地研究了关于（多体）量子纠缠态的一些重要理论问题。.主要研究内容如下：.（1）（多体）量子态Bloch表示向量的范数性质及其在纠缠判定，纠缠度估计中的应用；.（2）基于密度矩阵Bloch表示的CHSH、Svetlichny等贝尔不等式的最大量子均值的计算，及Trade-off关系；.（3）量子态的Bloch表示系数张量性质及局域酉等价分类等问题。.重要结果包括以下3条：.（1）给出了量子态Bloch表示向量的范数的紧致上界；基于此进一步给出了四体量子态的分类。利用改进的Bloch表示判据，给出了两体纠缠并发度和基于凸顶的负度的改进的下界，结果优于Phys. Rev. A 75, 052320(2007) 和J. Phys. A 45, 035301 (2012)等；基于PPT和重排判据给出了三体真纠缠判据及真纠缠并发度的下界，结果优于Phys. Rev. A 84, 062306 (2011)。.（2）给出了Svetlichny不等式的最大量子均值的紧致上界。对多体量子比特系统，给出了CHSH、Svetlichny不等式Trade-off关系，改进了Phys. Rev. A 92, 062339 (2015)中的结果。.（3）给出了量子态局域酉等价的必要条件：如果两个量子态是局域酉等价的，则它们的关联张量是正交相似的；进而假设两个量子态的关联张量是超对称的，则两个关联张量肯定有相同的E-特征值。. 本项目顺利完成了计划书中的研究内容，发表高水平SCI学术论文9篇，论文获瑞士 Université de Genève的 Fabien Clivaz教授等国内外团队引用和关注。. 本项目属于量子信息基础理论研究，相关成果一方面有利于进一步从数学上严谨地刻画量子纠缠本质；另一方面，纠缠度的估计等有利于定量地分析量子信息处理中的有效性和可行性。