求解逆问题的快速有效随机算法及其应用

Due to the size and ill-posedness, it has been a great challenge to develop fast and robust numerical methods for solving large-scale inverse problems. In this research project, we shall investigate some general regularization strategies using one or two regularization terms. We will construct fast and effective numerical solvers by making use of randomized algorithms. We first construct some randomized algorithms to essentially reduce the problem sizes of large-scale inverse problems, hence also greatly improve the stability of their regularized systems, so that our numerical solution processes need only to solve small-scale and much more stable regularized systems. Existing popular heuristic parameter choice strategies will be incorporated effectively for the determination of regularization parameters. Our randomized algorithms will be applied to solve the highly ill-posed nonlinear inverse problem from electrocardiography(ECG) for the reconstruction of potential distributions on the epicardial surface from the torso potential distributions, and the location of the anomalous zone, especially its boundary. This may provide some effective technical guidance and supports for clinical diagnosis.

由于问题的规模和不适定性，如何有效快速求解规模特别大的反问题一值是数学，工程和科学计算领域的一项巨大挑战。在本项目中，我们将研究较一般形式的包含一个或两个正则化参数的正则化策略，同时设计随机算法，快速有效求解所涉及的反问题的正则化非线性优化系统。我们将设计随机算法，大大缩减反问题的规模，使得我们的计算过程仅需求解规模较小且非常稳定的非线性优化系统，并结合经典的方法确定正则化参数。我们将应用新的快速有效随机算法于心电逆问题的计算，用两参数正则化方法，根据体表测得的电位重构心脏表面电位分布，更准确定位心脏表面电位异常区域（特别是边界），为临床诊断提供必要的技术支持。

随机策略求解反问题的高效性受人关注，我们进一步研究了随机算法，包括随机矩阵分解和随机迭代。随机矩阵分解包括随机整体最小二乘和随机QLP分解。在随机迭代算法方面，提出了投影随机Kaczmarz方法，特别是右端项有噪声时的半收敛性和求最小二乘解的扩充形式；分析了随机行迭代在求解超定不相容线性方程组时的半收敛性，提出扩充随机行迭代算法并证明收敛性；提出了广义随机扩充G-S算法，交替运用随机Kaczmarz方法和随机G-S方法来有效求解相容或不相容问题。进一步考虑到随机算法在量子计算机上的实现，基于Block-encoding技术实现了Kaczmarz方法和坐标下降法的量子算法。对线性反问题，难点在于正则化参数的选取。考虑在量子计算机上的正则化问题求解，用量子算法确定正则化参数，对于试选参数个数是平方加速。对于椭圆和抛物型方程中非线性的Robin反问题，应用Tikhonov正则化方法和L-M方法转化成为凸优化问题，设计了基于区域分解的几种有效求解方法，并考察了一般带两个参数的非线性反问题。