非线性动力系统的Galois方法

Recent years, with the foundation and completion of the Picard-Vissiot theory, the Morales-Ramis theory and the Galoisian integrability theory for general dynamical systems, the Galoisian approach has shown an important effect in the study of differential equations. Therefore, it is a significant issue to extend the Galoisian approach to more general differential systems, or to analyze the dynamical behavior by the Galoisian approach directly. In this project, we will study the following problem: 1. Try to study the integrability of infinite dimensional evolution equations by using the Galoisian approach. 2. Give the classification of integrability for some mathematical physics models, such as Lorenz system, Nosé-Hoover equations, Rikitake systems and so on. Meanwhile, investigate the relationships between the integrability, Darboux polynomial and Jacobi multipliers for reversible system. 3. By using the differential Galoisian theory, investigate the algebric relationship between the integraility and dynamical behaviors, and try to obtain some new algebric method for studying the dynamical behaviors.

近年来，随着Picard-Vissiot理论、Morales-Ramis理论和一般非线性系统的Galois可积理论的建立与完善，Galois方法在微分方程领域研究中显示出越来越重要的作用。因此，进一步拓宽Galois方法的应用范围，研究更一般的微分系统，或直接应用于研究非线性系统的动力学行为，具有重要的理论价值和应用意义。本项目将主要研究以下内容：1.运用Galois思想研究无穷维线性偏微分方程的积分可解性，探讨一般非线性发展方程的可积性问题；2.研究Lorenz系统和Rikitake系统等数学物理模型，尝试给出它们的可积性完全分类；探讨可逆系统的可积性与Darboux多项式、Jacobi乘子等特殊量之间的关系,尝试给出可积性新的判别准则。3.运用微分Galois理论建立一般非线性系统可积性与正则运动、不可积性与复杂动力学行为之间的具体联系，发展一套系统地研究动力学复杂性的代数方法。

本项目主要运用微分Galois理论、Kovacic算法和Poincare可积性理论，探讨非线性系统的可积性与正则运动、不可积性与复杂动力学行为之间的联系，研究几类数学物理模型的可积分类以及可积方程的动力学行为等问题，主要研究成果有：给出了Lorenz系统、广义Rikitake系统、Shimizu-Morioka系统和Maxwell-Bloch系统的可积性分类，并分析了系统不可积所导致的复杂动力学行为；探讨了系统的弱Painleve性质与代数可积性之间的联系，研究了齐次Newton系统的B-可积性；构造了Toda格系统和耦合可积格系统的守恒律和Darboux变换，探讨了系统的N-fold精确解和孤立子解；发展了一种新奇异重整化群技巧，给出了一类具时滞奇摄动问题和SIS传染病模型解的一致有效逼近以及误差估计。项目执行期间，发表相关论文25篇；短期出国访问1次，参加学术会议12次，其中国际学术会议1次。培养博士后1名，招收13名博士研究生，6名获得博士学位；招收19名硕士研究生，13名获得硕士学位。