微分Galois理论与非线性系统的复杂性

十九世纪80年代末，Picard和Vessiot将代数方程的Galois理论推广到齐次线性微分方程，建立了微分Galois理论。上世纪90年代，Morales-Ruiz和Ramis等人利用微分Galois理论研究解析Hamiltonian系统的可积性，建立了所谓的Morales-Ramis理论，并取得了一系列重要结果。如何利用微分Galois理论研究非Hamiltonian系统的可积性，建立类似的Morales-Ramis理论自然成为人们关心的重要问题。本项目中，我们将利用微分Galois理论研究非线性系统的可积性与不可积性，尝试建立一般非线性系统的类似的Morales-Ramis可积性理论，并探讨系统的不可积性与混沌等复杂行为和系统的可积性与Painlevé 性质之间的关系，给出Hénon-Heiles系统、Yang-Mills系统及Euler-Poisson问题可积或不可积的判别准则。

十九世纪80年代末，Picard和Vessiot将代数方程的Galois理论推广到齐次线性微分方程，建立了微分Galois理论。上世纪90年代，Morales-Ruiz和Ramis等人利用微分Galois理论研究解析Hamiltonian系统的可积性，建立了Morales-Ramis理论，并取得了一系列重要结果。如何利用微分Galois理论研究非Hamiltonian系统的可积性，建立类似的Morales-Ramis理论自然成为人们关心的重要问题。本项目主要研究微分方程的可积性与微分Galois理论及相关问题，得到主要结果有：1. 结合Lie代数理论，建立了一般非线性常微分方程的Galois理论；2. 证明了Painlevé IV方程在某些情形是( Liouville意义下)不可积的；证明了弱Painlevé性质等价于系统的某种可积性；给出了Hénon-Heiles系统和广义Yang-Mills哈密顿系统的完整可积性分类。结果1利用群的可解性研究非线性常微分方程的可积性，得到与关于代数方程的经典Galois理论类似的结论；结果2表明具有Painlevé性质的方程不一定可积，揭示了系统的可积性和弱Painlevé性质之间的深刻联系。