微分方程的可积性与Galois理论

可积性与不可积性是微分方程研究领域中的古老而基本的问题，长期以来倍受国际学术界的关注。早在1891年，Poincaré就在共振情形给出了常微分方程存在解析首次积分的必要条件。本项目研究微分方程的可积性与不可积性。我们将利用微分Galois理论和Poincaré法形理论，研究非线性常微分方程在共振情形的可积性和不可积性，尝试给出方程在给定函数空间中存在首次积分的二阶甚至高阶条件，同时利用所得结果研究一些具有特殊群对称结构系统的可积性和不可积性。我们也研究无穷维发展方程，如具有非线性热源的热方程，Burgers方程, Schrodinger方程，波动方程和KdV方程等的可积性与不可积性，建立一些相应的判定准则。同时，借鉴研究微分方程可积性与不可积性的思想和方法，尝试给出微分同胚在非共振情形和共振情形的可积性与不可积性判别准则。