一般误差分布下若干半参数模型的复合分位数方法

The estimation problem of semiparametric models has been widely studied and applied, but there's less study on its robust estimation method. Recently the new proposed composite quantile regression can take into account both efficiency and robustness. However, the existing composite quantile regression is based on the assumption of symmetric errors, without which a series of essential issues will inevitably emerge. For example, the estimates will be biased, inconsistent. Meanwhile, the existing composite quantile regression uses uniform weights, thus ignores using optimal weights. To solve these problems, this project aims to study the composite quantile method of some semiparametric models for the case of general error distributions. In particular, we will focus on the study of single-index models. The main contents are as follows: firstly, we give the estimate for the parametric part using the idea of composite quantile regression; secondly, we get rid of the assumption of symmetric errors, and construct consistent composite quantile estimates for the nonparametric part; thirdly, we search the optimal nonparametric estimate from the consistent estimate class obtained from the second step, prove the existence and uniqueness of the optimal weights, and discuss its estimation procedure in practice. Due to the unpredictability of whether the error is symmetric or not in practice, our research is both innovative in theory and valuable in application.

半参数模型的估计问题虽然已经得到广泛的研究和应用，但是关于其稳健估计方法的研究相对较少。近年来新提出的复合分位数回归可以兼顾效率和稳健性。但是，现有的复合分位数方法需要一个基本的假设：随机误差的分布是对称的。没有这个前提条件，将出现一系列本质性问题，如估计是有偏的、不相合的。同时，现有的复合分位数回归采用最简单的等权重复合方式，没有考虑使用最优权重。针对这些问题，本项目致力于研究一般误差分布下若干半参数模型的复合分位数方法；特别地，我们将对单指标模型展开研究。主要研究内容为：一是利用复合分位数的思想给出参数部分的估计；二是摆脱误差分布对称的假设，针对非参数部分建立相合的复合分位数估计类；三是从相合估计类中确定最优的非参数估计，证明最优权重的存在唯一性并讨论其实际计算方法。由于实际中误差分布的对称性通常无法预知，因此本研究理论上有所创新，方法具有实际应用价值。

本项目致力于研究统计模型的稳健估计理论、方法及其相关问题，基于复合分位数的思想，建立不同的回归模型并做出详细的阐述。主要从四个方面展开工作。第一，研究一般误差分布下单指标模型的复合分位数方法。利用“梯度外积法”给出参数向量的估计，进而得到非参数函数的相合估计类，从中确定最优权重和对应的最优非参数估计。第二，研究协变量缺失情形下变系数模型的加权复合分位数方法。在三种不同的选择概率函数假设下，利用逆概率加权重新调整目标函数的权重，得到单个分位数水平下非参数函数的估计。然后构造加权的复合分位数估计，通过最小化渐近方差确定最优权重，进而得到非参数函数的有效估计。第三，研究协变量缺失情形下借助经验似然加权的复合分位数方法。在参数形式的选择概率函数假设下，充分利用不完整数据构造无偏估计方程，将这些估计方程与经验似然方法结合得到基于经验似然加权的修正权重，新的权重优于基于逆概率加权得到的权重，利用新权重定义的目标函数得到的估计比逆概率加权得到的估计更有效，同时继承了复合分位数的稳健性。第四，作为拓展，研究超高维变量情形下稳健的条件特征筛选方法。给定某些预测变量作为条件集，通过全新的中心化技巧移除传统特征筛选准则中的无关信息。无论对相关性较强的预测变量还是模型结构未知的情形，新的筛选方法依然稳健。