Fourier型标架与分形谱测度

Frames and bases are fundamental concepts in Fourier analysis. Orthonormal bases, Riesz bases and frame of exponential type play extremely important roles in many branches of mathematics and applications. This proposal is devoted to the study of frames of exponential type and spectra of fractal measures. The topics of this proposal include 1) Gabor system such as the famous abc problem; 2) Existence and algebraic structure of frame spectra on fractal measures, such as Bernoulli convolution and self-similar measure, and convergence of the Fourier series associated with frame spectra. The methodology of this proposal combines the ones in Fourier analysis and fractal geometry, and also in complex analysis and algebraic number theory. The success of this proposal should have significant impact in the interdisciplinary field between Fourier analysis and fractal geometry. The study of this proposal would be important for better understanding of Fourier analysis, fractal measures, and frame theory.

不同形式的基与标架是Fourier 分析及相关学科研究的中心问题，有着重要的理论意义和广泛的应用价值。其中指数型正交基、Riesz 基及标架是最为基本也是最为重要的一类。本项目主要研究指数型标架及基于分形测度的谱与标架谱的性质刻划。包括（1）Gabor标架的abc问题，无参型和一些特殊函数对应的单参数型Gabor 标架问题；（2）分形测度包括Bernoulli卷积、自相似测度等，对应的谱、Riesz谱与标架谱的存在性，显式构造，代数结构以及这些谱对应的Fourier 表示级数的收敛性态。 本项目研究的内容和方法不仅依赖于传统的Fourier分析、分形几何，并将大量地涉及复分析、代数数论等基础理论学科。因此，本项目的研究将为我们建立Fourier分析、分形几何与其他理论应用学科的广泛联系起着重要作用,并对建立、完善基于分形测度的Fourier分析、标架理论及其应用都有着重要的意义。

本项目主要研究具有指数型正交基的分形测度和带窗口的Fourier框架，包括指数型正交基的存在性、显式结构、表示级数的收敛性态，以及Gabor框架的性质刻画。这是当前国际上Fourier分析的重要研究方向和热点课题，具有重要的理论意义与应用价值。本项目主要研究具有Fourier基的分形测度和带窗函数的Fourier框架。在本项目的支持下，申请人获得了以下研究成果：.1）解决了Gabor分析领域的一个基本问题——Gabor框架的abc问题。这是目前为止唯一一类得到完整刻画的紧窗口Gabor系统，实现了多年来人们对紧窗口Gabor系统进行刻画的突破，并且在方法上引入了动力系统与分形的思想，为Gabor分析的进一步研究提供了新的思路。该文共106页，在Memoirs AMS(2016)发表。.2）给出了Cantor型谱测度的完整刻画，并对谱测度的谱给出了树形结构刻画，以及数字集成为谱的判据等系列研究成果。这些工作分别在Adv. Math.(2014)、J. Funct. Anal.(2015)及math. Ann. (2016）上发表。.以上两方面的工作在Gabor分析领域及谱测度领域处于国际领先地位，并受到国际同行们的高度评。.此外，申请人还有关于谱的纯型性、Gabor框架在平移不变空间的应用及分形维数的等径问题等方面还有多项研究成果。