Fourier基、Fourier框架与Gabor框架

Frames and bases are fundamental concepts in Fourier analysis. Orthonormal bases, Riesz bases and frame of exponential type play extremely important roles in many branches of mathematics and applications. This proposal is devoted to the study of the properties of Fourier bases, Fourier frame, and Wely-Heisenberg-Gabor frame. The topics of this proposal include 1) Existence and algebraic structure of frame spectra on Borel measures, such as Bernoulli convolutions，self-similar measures，Riesz Product measures, and so on, and convergence of the Fourier series associated with frame spectra; 2) The conditions that a Gabor system becomes a frame. Especially, we would like to characterize the frame properties of Gabor systems with compacted supported window functions by the properties of window functions and shift sets. ..The methodology of this proposal combines the ones in Fourier analysis, and also in complex analysis, dynamical systems, fractal geometry, and algebraic number theory. The success of this proposal should have significant impact in the interdisciplinary field between Fourier analysis and related research fields as above. ..The study of this proposal would be important for better understanding of Fourier analysis, time-frequency analysis and frame theory.

函数的级数表示是数学与应用数学研究的核心课题之一，其中最基本也是最重要的是指数型的级数展开及逼近表示。本项目主要研究的是Fourier基、Fourier框架与带窗的Fourier框架（Wely-Heisenberg-Gabor框架）的各项性质。研究内容包括：1）研究基于一般测度的Hilbert空间上的Fourier基与Fourier框架的性质，如存在性、数字集的结构、Fourier表示级数的收敛性态，以及具有良好性质的Fourier基与Fourier框架的构造方法等；2）研究Gabor框架的性质，特别是研究紧窗口系统的刻画、窗函数的特征、平移伸缩数字集的分布及稠密性等。.本项目的研究内容是Fourier分析、时频分析、分形几何等学科共同关注的热点问题，同时在方法上还将涉及代数数论、复分析、动力系统等多个学科领域。这些问题的研究具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

函数的级数表示是数学与应用数学研究的核心课题之一，其中最基本也是最重要的是指数型的级数展开及逼近表示。本项目主要研究的是Fourier基、Fourier框架与带窗的Fourier框架（Wely-Heisenberg-Gabor框架）的各项性质。本项目的研究内容包括 基于一般测度的Hilbert空间上的Fourier基，即谱测度、Fourier框架的性质和Gabor框架的性质。主要结果如下。在测度的谱分析领域有： 1）通过投影和对分圆根的刻画，建立了二维自仿Sierpinski测度与一维N-bernoulli测度的谱性关系，并由此给出了平面上的自仿Sierpinski测度是谱测度的完全刻画，并给出了谱的结构表示。之前关于高维谱测度的研究都在一些性质刻画方面，而该工作则是高维谱测度的一个完整的结果；2）通过对扩张矩阵的刻画，给出了二维及高维的一些具有相似结构的测度成为谱测度的必要和充分条件，包括：齐次Moran测度、自仿Moran测度、无穷卷积测度、拟自仿Sierpinski测度等，并对它们的谱的分解和极大正交集的结构进行了深入的研究，以及给出了相应的数字集成为谱的一些判别方法；3）研究了一维和二维的包括Bernoulli卷积、Cantor测度、自仿Sierpinski测度等在内的一些重要的测度的谱特征问题和谱介值问题等。这些工作不仅丰富了谱测度的理论，并且开展了对高维谱测度的系列研究。在Gabor分析方面：4）通过平移线性相关性给出了紧支撑窗函数的Gabor系统成为框架的一个等价条件，并刻画了一类紧支撑窗函数的Gabor系统的框架集。在其他相关问题方面：5）通过引入Hata图和定义skeleton给出所有连通自相似集的Peano曲线的一般构造方法，给出分形方块的连通性、割点的存在性的刻画。