度量的变分与几何流的活动标架法研究

变分是经典几何研究的一种普遍方法。在任一黎曼流形上可考虑各种曲率张量及其模的某种组合的积分作泛函来研究其变分问题，称之为度量的变分。大部分几何量的计算在活动标架法下要简洁些。申请人已成功地用活动标架法改写一部分度量变分的公式，发现子流形几何中变分问题是度量变分的特例。流在近几十年几何研究中成了强有力的新方法。由于变分问题是流的有限情形，下一步就应该用此法研究几何流。我们已成功地将里奇流和平均曲率流用活动标架法表达，发现此法蕴含所谓乌伦贝克技巧。还证明了四维空间形式中超曲面的平均曲率流保持陈-西蒙斯不变量不变。此法所得结果能方便地处理与微分形式有关的几何不变量。接下来自然地要研究艾密度量的变分和凯莱里奇流和其他几何流的活动标架法表示。我们将重点研究度量变分与几何流之间的关系，里奇孤立子的唯一性，谱在流之下的变化规律以及常全纯截面曲率空间的变分刻画等问题。

本项目进行度量的变分与几何流的活动标架法研究。首先，我们得到了四维紧共形平坦流形的一个新特征刻划，其中我们考虑了里奇曲率与数量曲率模长平方的线性组合的积分为泛函的临界点。此泛函与通常的泛函不同，其中线性组合的两个系数只要不是平面上的某两条直线的坐标即可。其次，我们得到了存在四维球面到n维球面的二阶特征映射n取值的充分必要条件。解决了停滞有十几年之久的一个问题。最后，我们通过对正交乘积的讨论以及拓扑学结果的运用，得到了七维球面到自身二阶特征映射的完全分类。这也提供了同维球面间非刚性的二阶特征映射的第一个例子。项目组的其他成员还得到了芬斯勒几何的若干有意义的结果。