一类时滞积分方程解的存在性

Integral equations， functional differential equation with periodic delays and fractional differential equation have played a significant role in many problem of application. The existence of solutions for functional differential equation or fractional differential equation is equivalent to the existence of solutions for some integral equations is a kind research method. In this program, we study the existence, uniqueness and stability of solutions for more general integral equations which are defined in a closed but unbounded set with periodic structure and fractional integral equations. By fixed point theory, topological degree theory, fixed point index theory, critical point theory, Morse theory and coincidence degree theory, we mainly discussed (1) The existence, uniqueness and multiplicity of periocic solutions for a class of integral equations defined on a set with periodic structure; (2) Existence, uniqueness and multiplicity of solutions for nonlinear fractional integral equations. By interpolations theory, difference theory and mathematical analysis theory, we mainly discussed (3) Numerical Methods for integral equations, and stability of solutions for integral equation. We obtained the conditions of the existence, uniqueness, stability and numerical methods of solutions for integral equations with different nonlinear term. We applied the conclusions into several functional differential equation. The result of this subject is important in qualitative theory of integral equations and application of dynamics systems.

具有周期时滞的积分方程、泛函微分方程和分数阶微分方程在许多应用问题中起着重要作用。把泛函微分方程或分数阶微分方程转化为积分方程讨论解的存在性是一种研究方法。本项目主要研究定义在具有周期结构的无界集上变积分区域积分方程和分数阶积分方程解的存在性、唯一性、稳定性等问题。通过应用不动点理论、不动点指数理论、拓扑度理论、临界点理论、Morse理论、重合度理论研究（1）一类定义在具有周期结构的无界集上积分方程周期解的存在唯一性和多解存在性；（2）非线性分数阶积分方程解的存在唯一性和多解存在性；应用插值理论、差分理论和数学分析等方法研究（3）方程的数值解与稳定性等。得到这类方程在非线性项不同条件下依赖参数多个周期解存在性、存在唯一性、稳定性和数值解法问题的结果。这些结果将使得许多泛函微分方程解的存在性成为该方程的特例。本课题的研究在方程定性理论和动力系统研究应用中是重要的。

就积分方程解的存在性这一主题，主要做了如下工作：1. 研究了具有周期结构区域上的积分方程，利用Banach空间上的混合单调算子不动点理论，得到当非线性项混合单调时方程正周期解的存在唯一性条件，给出迭代序列，得到收敛速率。并将结果应用于一阶泛函微分方程。2. 应用非线性分析中经典的不动点理论（Banach压缩映像定理、Brouwer不动点定理、锥拉伸锥压缩不动点定理及偏序上的不动点定理等）研究非线性分数阶微分方程（系统）及离散形式的边值问题，包括Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数，方程类型涉及含参数与不含参数、奇异与非奇异等，边值条件包括两点、多点、局部与非局部和带有积分条件的边值问题，给出格林函数的性质，当非线性项满足适当条件时，得到相应边值问题正解存在性、不存在性、唯一性、多解性的充分条件，并举例验证所得结论；应用不动点指数理论和Leray-Schauder度理论研究一类非线性Caputo分数阶微分边值问题，得到其正解、负解、变号解存在的充分条件；利用临界点理论和Morse理论得到一类四阶边值问题非平凡解的存在性。3. 利用一类多参数预条件因子研究L-矩阵线性方程组的数值解法。 建立了相应的预条件AOR迭代法与经典的AOR迭代法的比较定理，并得到在该类预条件因子作用下AOR方法的收敛速度与参数大小有关，参数小于1时，越接近1，收敛速度越快。4. 利用二次李雅普诺夫函数、线性矩阵不等式理论，研究了四类二次系统的稳定性分析与镇定问题。稳定性方面，获得了LMI形式的二次系统的渐近稳定性判据，给出了获得最大吸引域估计的方法；镇定方面，获得了非线性状态反馈控制器的存在条件与设计方案，所给控制器可以最大化闭环系统的吸引域。通过数值仿真，验证所得结果的正确性与有效性。利用构造Lyapunov函数的方法研究集微分方程和模糊微分方程，得到其平凡解稳定的充分条件。