一类拟线性 Schrodinger 椭圆方程解的存在性、多重性及相关问题

Variational method is an important theory of nonlinear functional analysis, and it is also a hot direction of international mathematics research. Its main research objects are differential equations come from the mathematical physics, bioengineering and other fields. Applicant and his collaborators have obtained a series results in the study of Hamiltonian systems, elliptic equations by using variational methods. In this project, we mainly study the Kirchhoff type quasilinear Schrodinger elliptic equations for various potentials without compactness conditions: (1) The existence and multiplicity of nontrivial solutions for (strongly) indefinite Kirchhoff type problems are studied by means of local linking theory and Morse theory in the absence of compact Sobolev embedding. (2) Under some new conditions, the ground states and the multiple solutions of the superlinear Kirchhoff type problem with bounded potential well are studied by means of energy comparison. (3) We study the existence of ground states and the existence of infinitely many geometric distinct solutions for asymptotically linear or superlinear Kirchhoff equations with periodic potentials. On the basis of studying Kirchhoff type problems, this project will also study the related problems in Schrodinger-Poisson systems and p-Laplace equations.

变分法是非线性泛函分析的重要理论，也是国际数学研究的热点方向。其主要研究对象是来自数学物理、生物工程等领域的微分方程。申请人与合作者已应用变分法在Hamilton系统、椭圆方程方程(组)等问题的研究上获得了一些结果。本项目拟就位势函数的不同，进一步全面研究非线性Kirchhoff型拟线性Schrodinger方程的解：(1) 在没有Sobolev紧嵌入的条件下，利用局部环绕理论、Morse理论等方法研究(强)不定的Kirchhoff型问题的非平凡解的存在性与多重性；(2) 在一类新的条件下，利用能量比较等技巧研究带有限势阱的超线性Kirchhoff型问题的基态解以及多重解；(3) 研究带周期位势的渐近线性或超线性Kirchhoff型方程基态解以及无穷多几何互异解存在性问题。在此基础上，本项目还将对Schrodinger-Poisson系统以及p-Laplace方程等相关问题进行研究。

Kirchhoff型Schrodinger方程是一类重要的非局部拟线性椭圆方程，具有重要的物理意义. 本项目利用变分法和临界点理论等非线性分析工具, 研究不同类型的非线性Schrödinger–Kirchhoff 方程(SK方程)的解的存在性和多重性. 在项目执行期内主要得出了以下结果：研究了非线性项为幂函数时SK方程解的存在性, 结合 Pohozaev流形和 Nehari流形, 在一个新的流形上对变分泛函取约束极小, 并利用Lagrange乘子原理以及一些精细的分析, 得出了当非线性项的增长次数介于1至5之间时方程存在正径向解；利用山路定理与能量比较等方法研究了带有正位势阱的超线性Kirchhoff型问题, 得出了正基态解的存在性；利用Lions集中紧致原理以及位势与非线性项的周期性质, 证明了周期SK方程的正基态解的存在性.；在没有紧嵌入的条件下, 证明了带不定位势的Kirchhoff型方程的非平凡解的存在性与多重性；研究了非周期、强不定的Schrödinger方程的解的存在性与多重性问题；在不假设Ambrosetti-Rabinowitz超线性条件的情形下，研究了带有不定位势的Schrödinger方程的解的存在性与多重性问题. 此外, 项目组还对非线性Dirac方程进行了研究, 得出了其Riemann–Hilbert边值问题解的存在唯一性、Riemann问题的解的存在唯一性及近似解的误差估计、扰动Dirac方程解的Schwarz引理等结果. 本项目的研究一定程度上丰富了非线性分析的应用, 为研究具非线性微分方程问题提供了新的思路和方法.