几类离散和连续动力学方程解的定性研究

Integral equations, differential equations with parameters and q-difference equations are three typical classes of equations in the field of dynamical systems. They have been widely used in many fields such as information science、engineering control and economic management. However, the stability of the solutions to these equations has not been well solved, which has seriously affected their applications and simulation calculation. In this project, we will first analyze the different types of models and then we will use the fixed point theory、topological degree method、variational method、critical point theory and Morse theory in nonlinear analysis to study the following three problems: (1) The existence of the solutions of the integral equations in the general cases; (2) The existence of the solutions of the differential equations and the difference equations with parameters and the continuous dependency and oscillation of the solutions to the parameters; (3) The existence and nonexistence of the solutions of fractional q-difference equations. The conditions for the existence, uniqueness, nonexistence, stability and oscillation properties of solutions will be characterized. Furthermore, we would apply them into some concrete models in engineering mathematics、economic management problems and so on, showing the dynamic evolution process by simulation calculation, predicting the development law and the trend, analyzing the reasons and carrying on the proper control, providing the design of the controller. This project will provide new theory and methods for the qualitative theory of differential equation and the applications of engineering mathematics.

积分方程、带参数的微分方程以及q-差分方程等是动力系统领域的三类典型方程，在信息科学、工程控制、经济管理等领域有大量的应用，但这些方程解的适定性等问题还没有得到很好解决，严重影响了他们的应用及仿真计算。本项目首先对不同类模型进行分析的基础上，利用非线性分析中的不动点理论、拓扑度方法、变分法、临界点理论、Morse理论等手段与方法，研究三个方面的问题：(1)一般情形的积分方程解的存在性等；(2)带参数的微分方程、差分方程解的存在性以及解对参数的连续依赖性；(3)分数阶q-差分方程解的存在性与不存在性。主要给出相关方程正解、变号解的存在性、唯一性、不存在性、稳定性、振动性等性质的条件，并应用于工程数学、经济管理等领域的具体模型，进行仿真计算来显示其动态发展演化过程，预测发展规律及趋势，分析原因并进行优化控制，给出控制器的设计。本项目研究成果将为微分方程定性理论和工程数学应用提供新的理论和方法。

积分方程、带参数的微分方程以及q-差分方程等是动力系统领域的三类典型方程，在信息科学、工程控制、经济管理等领域有广泛的应用。本项目在对不同模型进行分析的基础上，利用非线性分析中的不动点理论、拓扑度方法、变分法、临界点理论、Morse理论等手段与方法，主要研究三个方面的问题：(1)一般情形的积分方程解的存在性等；(2)带参数的微分方程、差分方程解的存在性以及解对参数的连续依赖性；(3)分数阶q-差分方程解的存在性与不存在性等问题。 .对于一般情形的积分方程，给出方程解的存在性充分条件，得到方程解的存在性、唯一性、不存在性、稳定性、振动性等性质的条件。对于带参数的微分方程、差分方程，开展了解的存在性以及解对参数的连续依赖性研究，给出解的存在性充分条件。对于具有变参数时滞的多面体LPV系统，研究了稳定性分析与镇定问题。获得了时滞相关的稳定性判据，进一步获得了状态反馈控制器存在的充分条件，并提供了相应的设计方法。提供的数值算例表明所得结果的有效性。对于分数阶具有正负系数中立型微分方程，获得了这类方程一个新的非振动解存在性的充分条件；研究了一类髙阶带分布时滞中立型微分方程，获得了这类方程一个新的非振动解存在性的充分条件。相关成果应用于传染病动力学模型。证明了随机模型全局正解的存在唯一性。给出了随机模型中疾病灭绝和持久的充分条件。在疾病持久的条件下，得到了模型的遍历平稳分布的存在唯一性。进行数值模拟，说明了公共卫生教育在预防传染病传播中的重要性。对于分数阶q-差分方程，详细计算了格林函数，并研究它的重要性质，利用格林函数的重要性质，以及相关的不动点理论，讨论了方程解的存在性与不存在性，给出方程解存在性的充分条件，以及依赖于参数的不同取值范围，方程解的存在性与不存在性，研究了非线性项性质对解存在性的影响。并举例说明结论的有效性。