表示论的几何化研究

To be in line with the international trends of geometrification and categorification, we will pursue our research based on what we have archieved by using geometric methods. There are two topics: Quantum Homological Algebra and Tensor Triangular Categories which are related to the hotspot themes in finite group and its representation theory. Despite of the long or short history, these themes have aroused the interest of many experts from different areas in resent years, and have become hot research topics in related fields. Related articles have published in first-class journal of mathematics. In this project, we will concern both concrete examples and improvement of theoretical framework in these topics. Forthermore, their applications in main conjuctures of modular representation are also highlighted. The study in this project will also involve the main ideology of algebraic geometry, differential geometry and other fields, which reflects its multi-disciplinary characteristics. Therefore, the results of this project will also play a good role in the related fields.

在国际上几何化和范畴化大的数学研究潮流引导下，我们在已有的研究基础之上从几何方法入手围绕有限群及其表示理论中的核心热点问题展开研究，具体表现在两个方面的探讨上：量子同调代数与张量三角范畴。上述两个方向，最近几年来一直受到国际上来自不同领域的专家的共同关注，特别是在这一两年中逐渐成为相关领域研究的热点，有关的文章发表在一流的数学杂志上。在本项目中，我们将采取具体实例的探索和整体理论体系构建、完善相结合的研究路线，同时紧密关注上述理论在模表示论中，特别是模表示论三大支柱猜想中的应用。本项目的研究工作将要涉及到代数几何、微分几何等领域，体现了其多学科交叉与融合的特点。因此，本项目的成果也必将对上述相关领域的发展起到良好的推动作用。

本项目的主要目标及内容是通过将相关的量子同调代数、张量三角几何等领域的理论和方法与群表示的经典理论相结合，展开有限群模表示论的几何化研究。在实际执行过程中，我们通过对融合系统，群行列式与群结构常数、格林对应与Brauer同态等专题的研究，为著名的Alperin猜想、Broue猜想等公开问题提供了新的研究思路，并取得了系列的研究成果，同时通过对范畴论的研究，为表示论相关工作的开展提供坚实的理论基础，并积极探索其在表示论研究中潜在的应用途径与应用方式，积极推动整个理论体系的建设与发展，圆满完成了项目的既定目标。在项目后期，我们开始着手高阶表示论的研究，这不仅保持了项目一贯的研究特色，同时实现了研究的可持续性发展。本项目已经完成学术论文10篇，其中6篇正式发表或接受发表在国内、国际知名的学术刊物上，另外有4篇论文或处于在审稿状态或处于最后的修改完善阶段；尚有多项成果将在短期内完成整理工作并以学术论文形式公开发表。本项目成员在项目执行期间多人次参加国内国际相关的学术会议，对项目的发展起到了积极的推进作用；以在线形式组织了小型国际学术会议，邀请相关领域专家来华进行访问和学术交流，国际学术影响力获得了持续性提高。