经典与量子引力中的若干数学问题研究

Three geometric and analytic problems will be studied in this project, which arise in general relativity and deformation quantization of gravity. More detailedly，the global existences will be studied for a class of degenerated initial-boundary value problems for the vacuum Einstein field equations, which indicates the global nonlinear stability of Schwarzschild spacetime; and the positive energy theorem will be studied for Riemannian manifolds with cone singularity, and with dimension is seven and up; moreover, the noncommutative isometric embedding will be studied in the sense of deformation quantization.

本项目将研究广义相对论及引力形变量子化中出现的三个几何、分析问题。 具体地，研究真空爱因斯坦场方程一类退化初边值问题的整体存在性，即Schwarzschild时空的非线性稳定性问题；研究7维或以上带cone奇性流形的正能量定理是否正确，并研究该类奇性与流形Spin结构之间的关系，为进一步研究高维非Spin流形正能量猜想打下基础；研究形变量子化下非交换等距嵌入存在性。

正宇宙常数时空与目前的天文观测相吻合，负宇宙常数时空在超导理论中有一些可能的应用，因而对非零宇宙常数时空的研究有着重要意义。在本项目中，我们对具最弱正则性的度量证明了负宇宙常数正能量定理；应用共性Laplacian算子和平均曲率算子估计了带边spin流形Dirac算子的特征值下界，并用该估计证明了边界Dirac算子特征值取到某些数值时，共性紧PE度量或是标准半球、或是欧氏空间的平坦球体；证明了非零宇宙常数引力波Bondi-Sachs时空的peeling性质；估计了负宇宙常数非极端稳态黑洞时空Dirac算子特征值，得出当粒子质量较大时Dirac方程解的不存在性以及质量较小时的一些质量估计，说明粒子质量足够大时要么掉进黑洞，要么逃逸到无穷远；定义了非零宇宙常数时空黑洞边界的MOTS的一种弱稳定性并得到了相应的曲率估计。. 引力量子化是物理的基本问题之一。早期我们曾在形变量子化框架下，建立了的非交换微分几何理论，给出非交换空间的度量、协变导数和曲率的严格数学定义，并且提出非交换量子爱因斯坦场方程，构造了与时间无关、不可蒸发的数学上严格的量子黑洞数学模型。最近我们证明球对称时空的量子化过程是可重整化的。在以前的理论框架中，定义形变量子化的非交换乘法用的是常值反对称矩阵，这时量子效应过渡到经典效应的过程是不连续的。如果要让量子效应连续过渡到经典效应，则需要换成非常值的反对称矩阵，这时非交换乘法不满足结合率和莱布尼茨法则。我们在这一情形研究了引力量子化问题，并在一些特殊情形下也构造了不可蒸发的数学上严格的量子黑洞数学模型。