全空间中临界Surface Quasi-geostrophic方程的全局吸引子及其分形维数

Surface quasi-geostrophic (SQG) equation is an important model in the study of atmosphere and ocean. The research on the long time dynamics of SQG equation will help us to understand and even predict the states of chaotic system. The dissipative term and nonlinear term of critical SQG equation are nonlocal and comparable to each other. Thus, it’s not easy to prove the existence of an absorbing set and asymptotic compactness of solution semigroup. We shall establish the smoothing effect of solution for critical SQG equation on R2 in Hs by Constantin-Vicol nonlinear maximum principle, in Lp by Bernstein inequality with localized frequencies. Then, using fractional Leibniz rule and product formula, we shall obtain the tail estimates of solutions. Combining these together, we will get the existence of global attractor for critical SQG equation in Hs and Lp. Finally, we shall study the difference of two solutions of critical SQG equation by similar techniques, and show the quasi-stable property and squeezing property of solution semigroup, then get the finite dimensionality of global attractor and the existence of exponential attractor.

Surface Quasi-geostrophic(SQG) 方程是大气与海洋研究中的重要数学模型，研究其解的长时间行为有助于理解甚至预测混沌系统的状态。临界SQG方程的耗散项与非线性项含有导数的阶一致，且都具有非局部性，因而吸收集的存在性以及解半群的渐近紧性的证明将遇到新的困难。我们拟分别利用Constantin-Vicol非线性极大值原理和频段层次的Bernstein不等式建立全空间中SQG方程解在Hs和Lp中的光滑效应，应用分数拉普拉斯算子的莱布尼兹法则和乘积公式证明解的尾端估计，从而得到SQG方程在Hs和Lp中整体吸引子的存在性。我们将再采用类似的估计技巧研究QG方程不同解的差，证明解半群满足拟稳定性质和锥挤压性质，以此说明吸引子的分形维数有限以及指数吸引子的存在性。

整体吸引子是描述非线性系统复杂动力学行为的重要概念。本项目旨在研究耗散PDE决定的动力系统的整体吸引子的存在性及其进一步的性质。其一，证明了具有周期边界条件的广义BBM方程在能量空间以下的Sobolev空间中的整体吸引子存在性；并且给出了吸引子的一个有限覆盖，这意味着吸引子的分形维数有限。其二，证明了全空间中广义KdV方程在分数Sobolev空间Hs(s>1)中的整体吸引子的存在性，我们仅仅需要外力项f属于Hs-3，这一正则性是最佳的。其三，研究了SQG方程的线性化方程——Fokker-Planck方程。我们证明了，当漂移系数的各阶导数有界时，FP方程的解关于时间空间变量都是无穷光滑的。