部分耗散KdV方程的动力学行为与定量唯一延拓性

Korteweg-de Vries (KdV) equation is a mathematical model of waves on shallow water surfaces. It plays an important role in the theory of partial differential equations. In this study, we are devoted to the long-term dynamics of KdV equations with localized damping on the whole space or bounded domain with periodic boundary condition. We shall discuss several issues, including the existence, regularity, finite fractal dimension of global attractor and the impact of size, distribution and structure of damping area. The main novelty of this study lies in that the dissipation region is a strict subset of the domain. Compared with previous works, there are new challenges in proving the existence of an absorbing set, asymptotic compactness and finite dimensionality. Firstly, we shall investigate several kinds of quantitative unique continuation of linear KdV equation with lower order terms, and then deduce the observability type estimates to find the connection of the energy on different regions. As a consequence, we obtain the existence of a bounded absorbing set. Secondly, we prove the asymptotic compactness of solution semigroup and then the existence of a global attractor by tailed estimates and an asymptotic regularity, which follows from Goubet’s high-low frequency decomposition. Finally, we establish the finite dimensionality by showing that the solution semigroup satisfies Chueshov-Lasiecka’s quasi-stable estimates.

Korteweg-de Vries(KdV)方程是描述浅水波现象的数学模型，在偏微分方程领域占有重要地位。本项目研究全空间中或带周期边界条件下部分耗散KdV方程的动力学行为，具体内容包括：系统的整体吸引子存在性、正则性、分形维数估计，以及耗散区域的大小、分布与结构带来的影响。本项目的最大特色是仅假设部分区域上具有耗散机制，允许某些区域没有耗散。因而在考虑系统的吸收集、紧性以及分形维数时都会遇到新的困难。我们首先建立带变系数低价项的线性KdV方程的各种定量唯一延拓性，由此导出部分耗散KdV方程的能观能控型不等式，得到不同区域上的系统能量之间的联系，进而证明有界吸收集的存在性；其次利用Goubet高低频分解证明系统的渐近正则性，结合尾端估计说明解半群的渐近紧性，从而得到整体吸引子的存在性；最后，通过建立Chueshov-Lasiecka拟稳定估计得到吸引子的有限分形维数。

KdV方程是描述浅水波传播与孤立子现象的典型色散模型，研究其动力学行为以及定量唯一延拓性具有重要理论意义。在项目执行过程中，我们首先建立了分数阶BBM方程（又称正则化KdV）在最佳指标Sobolev空间中的整体适定性，证明了周期边界BBM方程在低正则Lp型Sobolev空间中的整体吸引子存在性，得到了全空间BBM方程的整体吸引子的奇异支集刻画。其次，研究了全空间中KdV方程在解析函数空间中的整体适定性，借助于解析函数空间中的I-方法，得到了KdV方程新的解析半径下界估计。再者，利用Goubet高低频分解、Bourgain空间理论以及Chueshov-Lasiecka拟稳定估计方法，证明了全空间KdV方程的整体吸引子在最佳Sobolev空间中具有有限分形维数。最后，通过研究具有紧支撑初值的KdV方程的定量解析估计，再联合解析函数的不确定性原理，得到了KdV方程两点时刻的定量唯一延拓性。此外，受本项目研究过程启发，我们还研究了其它重要方程的定量唯一延拓性。其一，证明了热方程能观测不等式在集合E上成立当且仅当E具有正密度，并对于热方程的非负解建立了格点上的能观测不等式。其二，证明了薛定谔方程的两点时刻能观测不等式与插值型唯一延拓性不等式。