超曲面的变分问题及拉格朗日子流形的研究

The geometry of submanifolds plays a very important role in global differential geometry. Variational problems of hypersurfaces and the theory of Lagrangian submanifolds are both very important parts in the geometry of submanifolds. The theory of hypersurfaces in real space forms is the natural generalization of the theory of surfaces in three-dimensional Euclidean space. Lagrangian submanifold is one of the most fundamental objects of study in sympletic geometry, and it is in close relationship with mirror symmetry and string theory. In this project, we will use the method of analysis on manifolds, exterior differential methods, moving frame method, the method in conformal geometry?and the theory of Lie group and Lie algebra, to investigate the following problems: (1)Yau's conjecture about the hypersurfaces with constant scalar curvature in high dimensional Euclidean space. The stability indexes of minimal hypersurfaces and hypersurfaces with constant mean curvature in a sphere and the related conjectures. The volume-preserving variational problems and stability problems of linear Weingarten hypersurfaces and hypersurfaces with boundary in real space forms, eigenvalue estimates of the corresponding Jacobi operators. (2)The classifications and characterizations of parallel Lagrangian submanifolds, Hamiltonian minimal Lagrangian submanifolds, Lagrangian submanifolds with conformal Maslov form and isotropic Lagrangian submanifolds in K?hler manifolds. The constructions of non-trivial examples of Lagrangian submanifolds.

子流形几何是整体微分几何的重要组成部分，超曲面的变分问题以及拉格朗日子流形都是子流形几何的重要研究内容。空间形式中的超曲面理论是三维欧氏空间中的曲面论的自然发展和推广。拉格朗日子流形是辛几何中最基本的研究对象之一，与镜对称理论及弦论有密切联系。本项目计划用流形上的分析、外微分法和活动标架法、共形几何的方法及李群和李代数的方法等来研究以下问题：（1）丘成桐关于高维欧氏空间中的常数量曲率超曲面的猜想。球面中的极小超曲面和常平均曲率超曲面的稳定性指标及相关猜想。实空间形式中的线性Weingarten超曲面和带边界的超曲面的保体积变分问题及其稳定性问题、对应的Jacobi算子的特征值估计问题。（2）凯勒流形中具有平行第二基本形式的拉格朗日子流形、哈密顿极小拉格朗日子流形、具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形及迷向拉格朗日子流形等的分类问题、刻画问题和拉格朗日子流形的非平凡例子的构造问题。

子流形几何是整体微分几何的重要组成部分，超曲面的变分问题以及拉格朗日子流形都是子流形几何的重要研究内容，也是本项目的核心主题。本项目按照研究计划研究了子流形几何的若干问题，在以下四个方面得到一系列研究成果：（1）我们研究了球面中的线性Weingarten超曲面的保体积变分问题、稳定性问题，并得到了对应的Jacobi算子的第一特征值和第二特征值的最佳上界估计。（2）我们完全分类了欧氏空间中截面曲率满足一定pinching条件的超曲面与任意一个黎曼流形的乘积流形中的极小稳定紧致子流形。（3）我们得到了复欧氏空间和复射影空间中的拉格朗日子流形的一个新的微分拓扑球定理。（4）我们给出了从3维齐性流形（Berger球，Heisenberg群Nil_3,李群PSL(2,R)的万有覆盖空间以及李群Sol_3)到3维复空间形式的拉格朗日浸入的完整分类，得到了CP^3中的Berger球的一个新刻画。