拉格朗日平均曲率流的自相似解及拉格朗日子流形的研究

The geometry of submanifolds plays a very important role in global differential geometry, the study of submanifolds has many applications in geometric analysis and theoretical physics. This project mainly focuses on the classification problems and rigidity problems of two classes of self-similar solutions of Lagrangian mean curvature flow in complex Euclidean space and Lagrangian submanifolds in some Kaehler-Einstein manifolds. Concretely, we will investigate the following problems. (1) We will generalize Colding-Minicozzi’s results on the classification of self-shrinkers in Euclidean space in codimension one to Lagrangian self-shrinkers in complex Euclidean space and study the rigidity of Lagrangian self-shrinkers, by exploiting the ideas used in the cases of hypersurfaces and using the methods in the study of minimal submanifolds. (2) We will study Lagrangian translating solitons in complex Euclidean space. Firstly, we will explore the method of separation of variables to construct new examples, study the properties and characterizations of the new examples. Secondly, we will study the complete classification problem in dimension 2 and partial classification problems in general dimensions, in both local sense and global sense. (3) We will study the problems of classifying the Lagrangian immersions from real space forms or Einstein manifolds to complex space forms or complex hyperquadric, by constructing appropriate orthonormal frames. We will study the construction of new canonical examples of Lagrangian submanifolds in complex hyperquadric, by exploiting the ideas used in the cases of complex space forms.

子流形几何是整体微分几何的重要组成部分，其研究在几何分析及理论物理等方向有很多应用。本项目主要研究复欧氏空间中拉格朗日平均曲率流的两类自相似解及一些Kaehler-Einstein流形中的拉格朗日子流形的分类和刚性。研究内容分三部分：(1)通过挖掘超曲面情形的证明思想和借鉴极小子流形的研究方法，把Colding-Minicozzi关于欧氏空间中超曲面情形的自收缩解的分类结果推广到复欧氏空间中的拉格朗日自收缩解，并研究拉格朗日自收缩解的刚性。(2)研究复欧氏空间中的拉格朗日平移解。通过发展分离变量的思想构造新例子，研究其性质及刻画，从整体和局部两方面研究二维情形的完整分类及高维情形的部分分类。(3)通过构造合适的正交标架，研究从实空间形式或Einstein流形到复空间形式或复二次超曲面的拉格朗日浸入的分类。通过借鉴复空间形式情形的构造思想，构造复二次超曲面中的拉格朗日子流形的典型例子。

本项目按照研究计划研究了子流形几何的若干问题，主要在以下四个方面得到一系列研究成果：（1）我们证明了Clifford环面是2维复欧氏空间中唯一的满足“第二基本形式的模长平方小于等于2”的紧致拉格朗日自收缩解，解决了西班牙几何学家Castro和Lerma的一个猜想。（2）我们证明了三维空间形式中的凸曲面的速度函数是F^{-a}的逆曲率流的长时间存在性和收敛性，在欧氏空间和双曲空间时，a取值0和1之间，在球面情形，a取值1，不需要假设F是一个凹函数。（3）我们对复二次超曲面的拉格朗日子流形定义了一族局部角度函数。通过研究这族角度函数的性质，我们发现它们可以很好的表达对应的拉格朗日子流形的几何量。我们完全分类了复二次超曲面中具有常截面曲率的极小拉格朗日子流形，以及有至多两个不同角度函数的极小拉格朗日子流形。（4）我们研究了齐性近凯勒流形S^3×S^3中的拉格朗日子流形。我们构造了一个新的拉格朗日环面的例子，完全分类了S^3×S^3中具有常截面曲率的拉格朗日子流形以及具有平行第二基本形式的拉格朗日子流形。