拓扑光学材料中边缘态的计算与分析

This project focuses on the computations and analysis of edge states in topological optical materials. The special symmetries of the topological materials ensure novel propagation of the light. The most important property is the existence of the topological edge states--- electromagnetic modes which propagate along the edge and are localized transverse to the edge. These states are very robust, blind to local defects, and thus have very important applications. This project starts from the Maxwell’s equation with the material weights possessing the honeycomb symmetry. We will prove the existence of the Dirac points in the linear spectrum. Introducing a domain wall function which connects two crystals with different topological properties, we will give the conditions for the existence of topological edge states. In computations, we will propose a Bloch-theory based gradient recovery method to compute the edge states. This high accuracy method ensures the characteristic functions and their gradients have the same accuracy. This property is highly desired to recover the electromagnetic fields under propagation. In analysis, we will study low-contrast and high-contrast limits, where we can give rigorous and analytical representations of the edge states via a multi-scale method and the layer potential theory. We also derive and justify the effective envelope equation. By combining the computation and analysis, this project will give the physical and mathematical conditions for the existence of the edge states and their propagation properties.

本项目拟通过计算与分析研究光学材料中拓扑边缘态及其性质。拓扑材料特殊的对称性使得光在材料中的传播表现出了很多很新颖的特性，其中最重要的就是拓扑边缘态的存在性，这种沿着界面传播且沿垂直于边界的方向迅速衰减的一种特殊的电磁波模态，完全不受缺陷等扰动的影响，因而具有重要的应用。本项目从具有六角对称的麦克斯韦方程出发，证明其线性谱存在狄拉克点，另外通过引入畴壁函数将两个拓扑性质不同的晶体连接起来，研究拓扑边缘态存在的条件。在计算方面，我们拟设计一种基于Bloch理论的梯度重构方法计算边缘态，这种高精度算法可以保证特征函数与其梯度基本保持在同一精度，这是在重构材料中所传播的电磁场所需要的。在分析方面，我们运用多重尺度以及层势理论分别研究在低对比与高对比极限下拓扑态的解析性质，推导并证明边缘态波包所满足的等效传播模型。结合计算与分析，本项目将给出边缘态存在的物理与数学条件以及传播特性等。

最近十年见证了新型材料的爆发式研究，各种各样的具有特殊性能的超新材料被设计并制造出来，在这些新型材料中，拓扑光学材料则是当前最重要的研究热点之一。.由于拓扑材料特殊的对称性，材料边界存在一种单向传播的拓扑保护的边缘态，它的传播具有很强的鲁棒性。随着拓扑光学材料在应用领域的快速发展，从数学上对拓扑材料中波传播的研究变得越来越重要，另外针对拓扑材料的特殊结构，提出高效易用的数值算法也十分迫切。.本项目主要通过计算与分析研究拓扑光学材料中边缘态的存在性及其物理特性。在计算方面，本项目提出一种基于Floquet理论的梯度重构的有限元方法，用来计算具有蜂窝结构的光子晶体中的电磁模态,这种方法可以解决传统方法电场与磁场精度不匹配的问题，同时利用梯度重构的超收敛思想用线性元得到高阶数值精度。针对实际问题中的材料都是分片周期的，而且物性参数有间断且对比度很高，本项目提出的了有效的消失边界有限元方法可以解决这些实际问题中的经常存在的复杂物性参数情形，取得了很好得结果，有望得到应用领域的人更多地关注和运用。在理论分析方面，本项目证明了了具有一般蜂窝结构的光子晶体中其TE波模的色散关系具有Dirac点，给出了物性参数应该具有的对称性条件，推广了美国科学院院士普林斯顿大学Fefferman教授在Journal of American Mathematical Society 上发表的结论，因此具有重要的应用与理论价值，这一结果被Fefferman教授及其合作者在后面的论文中多次提。本项目构造了一大类具有特殊对称性的势函数，并严格证明了三维薛定谔算子在装配此类势函数下一定存在三重Weyl点。这些结果从数学上来说进一步完善了具有特殊对称结构椭圆算子的谱中锥形奇异点存在性理论，从应用上来说给基于蜂窝结构的拓扑光学材料提供了坚实的数学理论，也将实验结果与严格的数学理论有机结合起来。