几类拟线性问题的多解存在性和非存在性

Elliptic equations are originated from many physical phenomena and geometric problems. Many scholars have always been interested in the existence of solutions and multiple solutions, few researchers studied the existence and nonexistence for quasilinear problems with multiple nodal solutions. The project will discuss the existence and nonexistence of multiple nodal solutions for several quasilinear problems in depth, which using the variational method, critical point theory and so on, and then reveral the existence of nodal solutions for quasilinear problems. The above problems have not only been widely used to theoretical physics, fluid mechanics, celestial mechanics and so on, but also promoted differential geometry, topology, variational theory and other important theoretical branch. Therefore, the research not only enrich the theory of differential equation, but also promote the development of other mathematical branch and application branch, so the subject is very importmant in the theory and the application.

众多的物理现象和几何问题都可以由椭圆方程来描述。这类方程解的存在性、多解性的研究，一直被人们所关注。目前较少学者对椭圆方程多个变号解的存在性以及非存在性进行研究。本项目主要利用变分法和临界点理论的相关工具及分析技巧对几类拟线性问题的多个变号解的存在性和非存在性进行深入探讨。进而揭示拟线性问题存在变号解的一般规律。上述问题的研究不仅涉及到理论物理、流体力学、天体力学等重要的应用领域，同时也促进了微分几何、拓扑学、变分理论等重要理论分支的飞跃发展。因此，我们的研究，既能丰富微分方程理论，又能促进其它数学分支和应用分支的发展，因而无论从理论上还是从应用上都是十分重要的。

在项目组成员的共同努力下，我们顺利完成了项目。项目中对一类带加权项和临界指数的拟线性椭圆问题和一类拟线性薛定谔问题以及带临界指数的半古典态非线性薛定谔问题变号解进行深入的探讨，得到了空间维数与变号解之间的关系以及变号解的性态。我们的研究为其他学科相关问题的研究提供理论依据，并促进对椭圆方程（组）更一般问题的关注和研究。因此，我们的研究既能丰富偏微分方程基本理论宝库，又能促进一些数学理论分支和应用分支的发展，因而无论从理论上还是应用上讲都是有意义的。