拟极值距离常数与拟共形常数

The research project deals with several important fundamental topics concerning quasiconformal mappings. By means of the method and theory of real analysis,complex analysis and harmonic analysis, especially using the decomposition of extremal length, we will investigate the relationship between quasiextremal distance constants and quasiconformal mapping. Furthermore, we hope to generalize the relatively rich theory of plane quasiextremal distance to the case of high dimensional space. Introducing the concept of quasisymmetric exponent, we hope to get the relationship between the modulus of a quasisymmetric homeomorphism and the modulus of its extension. The aim is to get the necessary and sufficient condition on the equality of these two moduli. Throughout this project, we hope to obtain some important and original results in these topics.

本项目将研究拟共形映射中的一些基本问题。我们将利用实分析、复分析与调和分析的方法和理论，特别是以极值长度的分解作为工具，研究拟极值距离常数与拟共形映射之间的关系，特别是拟极值距离常数与拟共形映射最大伸缩商、边界伸缩商之间的关系，同时还希望将平面上较为成熟的QED常数的结果拓广到高维空间。通过拟对称指数概念的引入，我们还将研究实轴到自身的拟对称同胚的模与它的拟共形延拓模之间的关系，得到拟对称模等于其延拓模的充分必要条件。我们拟通过本项目的研究，得到一些具有原创性的研究成果和研究方法，推动拟共形映射的发展。

本项目研究了拟极值距离常数、拟对称指数、由区域诱导的单位圆周上的缝合同胚、调和测度、调和对称等相关问题。在高维欧式空间中，证明了拟极值距离常数或者被非蜕化的连续统达到，或者有1+H的上界。同时还证明了高维欧式空间中的容量所对应的极值函数与n-调和方程的弱解之间的联系。使用拟对称指数的概念，给出了实轴到自身的拟对称同胚的伸缩商与拟共形延拓的伸缩商相等的充分必要条件。给出了由区域诱导的单位圆周上的缝合同胚为Bi-Lipschitz、Bi-Holder等的充要条件。使用调和对称给出了拟圆周的充分必要条件。证明了Broad域上弱拟对称同胚的逆映射仍然为弱拟对称同胚。