拟共形映射的双曲性质与极值问题

We will study some quasiconformal mappings which are biLipschitz with respected to hyperbolic metric, and related extremal problems. It is known that Beurling-Ahlfors extension and Douady-Earle extension are biLIpschitz with respected to Poincare metric and have some important applications in Teichmuller theory and hyperbolic geometry. Finding some quasiconformal mappings which are biLIpschitz with respected to hyperbolic metric is an interesting problem. . For there are close relationship between the metrics in Teichmuller space and the maps of Riemann surfaces. Such as the Teichmuller metric is reached by the Teichmuller maps(extremal quasiconformal maps) and the Thurston metric is reached by the Thurston stretch maps(extremal Lipschitz maps), we will find the relationship between extremal quasiconformal mappings and extremal Lipschitz mappings in the homotopy class of a quasiconformal mappings in the disk to study the relationship between the metrics in universal Teichmuller space.

本项目主要研究拟共形映射的双曲几何性质及相关的一些极值问题。人们知道并非所有拟共形映射都是双曲biLipschitz映射，并且具有双曲biLipschitz性质的Beurling-Ahlfors扩张和Douady-Earle扩张在Teichmuller 空间，调和拟共形扩张和双曲几何的研究中具有重要应用，因此，我们试图找到一类单位圆上具有双曲biLipschitz性质的拟共形映射，这对万有Teichmuller空间，凸包定理和调和映射的研究很有意义。.Teichmuller空间上度量与曲面之间的映射有密切联系，有限型Riemann曲面间的Teichmuller映射实现两点间的Teichmuller距离，Thurston伸张映射实现Thurston距离。我们认为研究单位圆上映射同伦类中的极值拟共形映射和极值Lipschitz映射，对研究万有Teichmuller空间上度量的关系很有必要。

拟共形映射与Teichmuller空间理论是当今数学的一个重要研究分支，本项目主要研究拟共形映射的双曲几何性质及相关的一些极值问题。.经过三年的努力，我们主要解决了以下三个方面的问题：.1、我们致力于Teichmuller空间中极值问题的研究。通过研究单位圆上映射同伦类中的极值拟共形映射，给出了Teichmuller空间与无穷小Teichmuller空间之间的某些联系，证明了万有Teichmuller空间中任意元素中存在无穷小等价类是无穷小Strebel点的代表元，从而说明了存在单位圆内的有界可测函数，其Teichmuller等价类中不存在唯一的极值拟共形映射，但其无穷小Teichmuller等价类中存在唯一极值拟共形映射。.2、我们对给定单位圆到万有Teichmuller空间的全纯映射，给出了无穷小万有Teichmuller空间中全纯依赖于参数的一族无穷小Strebel点，从而对于万有Teichmuller空间中的一个测地圆盘，给出了无穷小万有Teichmuller空间中的一个无穷小Strebel点区域。.3、我们研究了平面上调和映射的单叶性半径和Bloch常数问题，为进一步研究调和拟共形映射的性质奠定了基础。. 这些研究使得本项目达到了预期的研究目的，它们丰富了拟共形映射，Teichmuller空间理论，为其他学科的研究提供了理论依据。