算子空间上一般保持问题及在量子信息理论中应用研究

本项目主要研究算子代数或算子空间上一般保持问题，即保持某种同构不变量的映射的延拓、刻画和分类问题，探讨算子空间上映射保持哪些代数或几何不变量时，就可延拓为代数同态或Jordan同态. 该研究可望从新的角度揭示算子空间同算子代数之间的内在联系，加深对算子空间和算子代数的代数结构和几何结构及其关系的理解. 作为保持问题研究成果和方法在量子信息科学中的应用，着重讨论无限维量子系统的相关问题，探讨并建立新的量子纠缠判据、量子纠缠度，讨论非完全正的正映射和纠缠witness的构造并用于纠缠态的识别，探讨保持某些量子物理量的映射的刻画问题等.

本项目是算子理论、算子代数、量子信息科学交叉课题,包含两个子课题: (一) 算子空间上一般保持问题研究, (二) 算子理论、保持问题研究在量子信息的应用。主要成果如下：（一）克服了Banach空间套可能不含有可补元的困难，给出任意维实或复Banach空间上套代数之间Lie环同构的完全刻画，还证明了其上线性映射若在某个单射算子或值域稠密算子可导，那么它必是导子；给出没有I1型中心直和项的von Neumann代数之间ξ-Lie可乘双射的构造；给出von Neumann代数上Lie导子和ξ-Lie导子的刻画和分类；给出素代数上Lie导子、ξ-Lie导子、广义Lie导子和广义ξ-Lie导子的刻画；获得标准算子代数上保持算子的广义积的边缘谱的映射和广义Jordan乘积的边缘谱的映射的刻画；获得矩阵代数上压缩矩阵差的谱的映射的刻画；获得保持算子Lie积数值域和数值半径映射的刻画. (二) 得到量子态之间保持凸组合双射的刻画以及可逆量子测量的几何特征; 继而对于有限维系统情形，获得把（可分）纯态映为（可分）纯态且保持严格凸组合单射的完全刻画和分类，并揭示了单射（局域）量子测量的几何特征；给出保持纯态、保持可分纯态的线性映射的刻画及保持量子态的熵不变的映射的刻画；建立了无限维系统量子信道算子和表示的双压缩自由性，给出了量子信道纠缠保真度的计算公式以及与输入输出之间保真度的关系，获得保持量子态下保真度映射、上保真度映射、保真度映射的刻画；对于两体量子系统，构造新的正线性映射和纠缠witness,获得纠缠witness成为最优纠缠witness的一个充分必要条件，得到一类最优纠缠witness; 建立了无限维两体复合系统的一个迹不等式纠缠判据、纠缠性重排判据和CCNR判据以及一个强于CCNR判据的不等式判据；建立了无限维多体量子态纠缠性的 LPP（有限秩）初等算子判据，并给出LPP初等算子的刻画；建立了多体量子态纠缠性的广义部分转置判据；证明了无限维系统的concurrence是连续的而且是在局域操作和经典通讯下不增的；给出保持零量子失谐的量子信道的具体形式和分类，改进了已有的相关结果并肯定地回答了他人提出的猜想；给出无限维量子态的MIN等于0的充分必要条件，进而获得保持MIN为0的量子信道的刻画和分类.