算子系统张量积中正元的可分离性识别及相关问题研究

The inseparable composite quantum states, that is, the entangled quantum states, are important resource in quantum information science, and the problem of detecting the entanglement in the states is basic. In the present project, we generalize the notion of separability for quantum states to the separability for normal states of the tensor products of von Neumann algebras as well as the separability of positive elements in tensor products of operator systems, and propose the more general problem of detecting separability of normal states or positive elements. We will devote to investigating the basic properties of separable normal states and separable positive elements, establishing general separability criteria, characterizing the linear maps that are positive on the separable cone, that is, the cone consistsing of all separable positive elements, studying also other (nonlinear) related preserver problems on the separable cone. It is expected the results obtained from the project may provide new knowledge on tensor products of operator systems or von Neumann algebras, get some new opinions on the separability for positive elements that are helpful to understand the quantum entanglement better.

不可分离的复合量子态即纠缠态是量子信息科学的重要物理资源,其识别问题是重要的基本问题. 本项目把量子态的可分离性概念推广到von Neumann代数张量积上的正规态的可分离性以及算子系统张量积中正元的可分离性，试图把量子信息理论中的纠缠量子态识别问题提升到更一般更抽象的数学框架来考虑，即von Neumann代数正规态和算子系统张量积中正元的可分离性识别问题，研究可分离正规态和可分离正元（正算子）的基本性质，建立一般的可分离性判据；深入探讨可分离锥上保正性的线性泛函和线性映射的刻画问题以及其他相关（非线性）保持问题，进一步丰富算子理论和算子代数的张量积理论，并从数学理论的层面，加深对于量子信息纠缠理论的认识，进而为解决量子纠缠性的识别问题提供帮助.

本项目是算子理论、算子代数、量子信息科学交叉课题，主要研究内容和成果如下：（一）把量子信息理论中的复合量子态的可分离性提升到更一般更抽象的数学框架来考虑，即提升到张量积空间上正算子可分离性问题来加以研究。对常见的四种算子拓扑，即算子范数拓扑(UT)、强算子拓扑(SOT)、弱算子拓扑(WOT)、极弱算子拓扑(UWT)，引入B(H⨂K)中正算子的可分离性，建立了SOT-可分离性、WOT-可分离性、UWT-可分离性的有限秩纠缠见证充分必要判据、正初等算子充分必要判据以及四种可分离性都适用的必要性判据--正偏转置(PPT)判据。对于UT-可分离性则建立了一些充分性或必要性判据。证明了SOT-可分离性、WOT-可分离性以及UWT-可分离性是等价的。而对于量子态，上述四种拓扑分离性都等价于量子态分离性。给出几种利用算子矩阵构造四种可分离正算子的方法，并应用于获得新的构造可分离量子态的方法。获得用置换对构造有限秩正线性映射和有限秩纠缠见证的新方法。（二）应用算子理论研究量子信息中提出的相关问题。不同于有限维量子系统，量子态的纯态系综的酉自由性和量子信道算子和表示的酉自由性在无限维系统中不再成立，取而代之，我们建立了量子态的纯态系综和量子信道算子和表示的对偶压缩自由性。用高斯正算子测量、酉操作、保真度等，给出连续变量系统量子关联的几种数量化方法并系统讨论了它们的性质。（三）算子代数或算子系统上一般保持问题研究。引入更为广泛的径向酉相似不变非负泛函F，给出保持自伴算子Jordan乘积的F值或Lie乘积的F值的映射的结构，由此获得自伴算子上保持Jordan乘积或Lie乘积的数值半径、伪谱半径、p-范数、数值域、伪谱的一般映射的刻画。系统探讨保持k-交换子映射、保持k-交换性映射以及保持斜交换性映射的刻画问题。获得标准算子代数上保持标量算子幂零扰动的可加映射以及保持标量算子r-阶幂零扰动的可加映射的刻画并应用于获得保持k-交换性映射的刻画。