共振情形下微分方程系统的不可积性和部分可积性

As is well known, “integrability” is a fundamental and significant topic in the field of studying differential equation. In recent decades, due to the discovery of chaos, nonintegrable systems have been received much attention by researchers. Along the idea of Poincaré, a lot of works have been expanded. But most of works all considered the cases that the systems are not resonant or simply resonant. On the other hand, many dynamical systems in physics have one or two first integrals, its nonintegrability in general is difficult to be proved, so the research of partial integrability has a very important significance. In this project, we will use the theory of Poincaré normal form as a main tool, combined with the Ziglin lemma, Floquent theory and related results of semi-quasi-homogeneous system, to study the nonexistence and partial existence of rational first integrals for differential equation systems under the general resonance condition. Furthermore, we will also give the correlative criteria of rational first integrals for quasi-periodic systems under the case of resonance. In addition, since the existence results about the nonintegrability system are mostly considered near the singular point, we will give the criteria about the nonexistence and partial existence of rational first integrals near the periodic solution.

众所周知，“可积性”是微分方程研究领域中一个基本而又重要的问题。近几十年来，由于混沌的发现促使人们提高了对不可积性系统的研究兴趣。沿着 Poincaré的思路展开了很多用来判断首次积分不存在的准则，但这些工作大都是在系统不满足共振条件或者满足某种特殊共振条件下展开的。另外，物理学中的很多动力系统有一个或两个首次积分，则其不可积性一般是很难证明的，因此研究系统的部分可积性有着重要的意义。在本项目中我们将以Poincaré法型理论为主要工具，结合Ziglin引理、Floquent理论以及半拟齐次系统的相关结果来研究微分方程系统满足一般共振条件的有理首次积分的不存在性和部分存在性。进一步对拟周期系统在满足共振情形下给出有理首次积分相关判定准则。另外，关于不可积性已有结果大多是在奇点附近做出的研究，我们将在周期解附近给出微分方程系统存在有理首次积分的必要条件和系统部分可积的判定准则。

可积性与不可积性是微分方程研究领域基本而又重要的问题之一。特别是在上世纪60年代，随着“孤立子”的发现掀起了非线性系统研究的热潮，从而也使人们在新的高度重新认识可积系统，引发了对停顿百年的微分方程可积性的研究热潮。近年来，许多学者先后在不同的函数空间对各种类型系统给出了存在首次积分的判别条件，其中大多数结果仍是在向量场在奇点处的Jacobi矩阵A的特征根不满足某种共振条件或满足某些特殊共振条件给出的。.本项目中， 我们结合中心流形理论，对一类具有中心流形（特殊情况下，相应奇点处的Jacobi矩阵A的特征根满足共振条件）的系统进行了深入的研究，得到了一些比以往更加简洁有效的可积性判别准则。 同时我们还探讨了逆周期系统的可积性，并得到了一些有意义的结果。主要所取得的结果如下： .（1）研究了一类具中心流形系统的不可积性, 给出了相应的首次积分存在性判别准则。.（2）运用第一阶段所得的准则研究并得到了三维Lotka-Volterra型等两类系统不可积性。.（3）研究了一类拟周期系统在共振情形的有理可积性, 得到了相应的可积性判别准则。