锥流形上的薛定谔方程的衍射

The Schrodinger equation is the non-relativistic quantum mechanical description of a single particle moving in an electric field.The square of the solution can be interpreted as the probability density of observing the particle at some point and at some time. The key issue is to understand how the electric field afftects the motion of the particle; in a mathematical language, that is how the metric of the manifolds determines the solution of the Schrodinger equation. Singular geometric structures, such as cones, edges, corners and so on, essentially dominate the solution. In particular, we wish to understand how the conic metric affect the Schrodinger equation..The resolvent for the Laplacian on conic manifolds exhibits an interesting structure of contact geometry: the wavefront set of the resolvent kernel at infinity consists of two Legendrian submanifolds associated with angular geodesic flow and non-angular geodesic flow. In a geometric language, these two kinds of geodesic create distinct propagation of singularities. We wish to study how the singularities of the solution to the Schrodinger equation propagates at the cone tip. In particular, we want to understand the diffractions of quantum waves; namely, how the singularities split at the cone tip..Our analysis of singularities for the solution to the Schrodinger equation applies to Strichartz estimates.

薛定谔方程给出了粒子在电场中运动的非相对论量子力学描述，薛定谔方程的解的平方可以理解为在某位置某时间观察到粒子的概率密度。这其中的关键问题是理解电场如何影响粒子的运动；翻译成数学语言就是几何流形上的度量如何决定薛定谔方程的解。奇异的几何结构，比如锥、边、角等，对方程的解有本质的影响。特别地，我们想理解锥的度量如何影响薛定谔方程。.锥流形上的拉普拉斯算子的预解式有特别的接触几何结构：预解式的核在无穷远处的波前集是两个相交的勒让德子流形。这两个勒让德子流形分别是非径向的测地流和径向的测地流。翻译成几何语言就是，在锥点的两类测地线制造了奇性传播的两种路径。我们要研究薛定谔方程的奇性如何在锥点传播。特别地，我们想理解量子波的衍射现象，即解的奇性在锥点是如何沿着两种不同的测地线分离。.我们对薛定谔方程的解的奇性分析可以应用到Strichartz估计。

本项目研究经典波和量子波的传播，衍射，相互作用等现象的数学理论。这一系列问题产生于18-19世纪经典物理中对光波动性的研究，在20世纪的量子场论研究中进一步发展。数学上经典波和量子波分别由波方程和薛定谔方程描述。本项目利用谱定理，拟微分算子，傅里叶积分算子等工具，通过描述的波方程和薛定谔方程的基本解，具体解释了波的传播，相互作用，衍射的一些数学机理。我们得到如下结果：1. 锥流形上的波方程和薛定谔方程的衍射。通过谱定理，波方程和薛定谔方程的基本解可以由预解式表达。我们利用傅里叶积分算子和拟微分算子构造了锥流形上的半经典预解式。在锥流形上，我们证明预解式是一个具有两个波前（几何波前和衍射波前）的傅里叶积分算子。支撑在几何波前的部分描述了波的几何传播，支撑在衍射波前的部分描述了波的衍射现象。2. 锥流形上薛定谔方程的Strichartz估计。我们证明了一般非乘积型锥流形上薛定谔方程的Strichartz估计，给出了正则性丢失与度量非乘积性间的关系。3. 线性波的相互作用。我们利用傅里叶积分算子详细计算出一组线性波的相互作用和产生的新波。本项目的研究加深了波的传播和衍射理论的数学理解，发展了流形上的傅里叶积分算子和拟微分算子理论。