非齐型测度空间上多参数奇异积分算子研究

This research project is mainly devoted to consider the multi-parameter singular integral operators and function spaces under non-homogeneous metrics measures and their applications in partial differential equation. In this project, we mainly focus on the following problems: 1) The Lp- boundedness of the product Calderon-Zygmund operator，the maximal operator and the T1 theorem on non-homogeneous space with metric measures; 2) Properties of Flag-type singular integral operators developed by Stein in the non-homogeneous type space associated with metric measures; 3) The characterization of the function spaces on non- homogeneous function spaces; study the inequalities in some Edge Sobolev spaces and its application on boundary value problems for differential equations on certain domains.

本项目主要关注非齐型度量测度上的多参数奇异积分算子和函数空间及其在偏微分方程中的应用。我们将致力于解决如下问题：（1).研究乘积Calderon-Zygmund算子和极大算子在非齐型度量测度空间上的Lp有界性，进一步建立相应的T1定理；2) 在非齐型度量测度空间上研究与Stein发展的Flag型奇异积分算子的性质；3）讨论非齐型测度上函数空间的特征刻画；进一步探讨Edge Sobolev 空间上的不等式估计及其在某些区域上的微分方程边值问题中的应用。

本项目主要关注一般度量空间、多参数奇异积分算子问题及其应用研究。项目原计划考虑以下三个方面的问题：（1）一般度量空间上奇异积分算子的有界性；（2）Flag-型奇异积分算子性质；（3）一些算子与函数空间上的估计在微分方程问题中的应用。在本项目的执行过程中，项目组对问题（1）和（3）开展了一些有效研究。对问题（2）进行了认真的准备，这将是我们后续研究内容的重点。在项目的资助下，项目组取得了下列成果：（1）得到了非倍测度下Hardy算子在Herz空间上的有界性；（2）证明了高维空间中一类满足 Hormander型条件的振荡算子和变分算子在加权Lp空间中的有界性，给出了算子的弱有界性；（3）给出了与Bessel函数Poisson半群相关的振荡积分算子和变分算子在Lp空间和 BMO空间中的强有界性, 也得到了从 L1到 L1,∞的弱有界性以及从 H1到L1的有界性；（4）作为应用，给出具有时变时滞的惯性耦合神经网络系统的指数同步性；（5）证明了具有符号有向图的惯性耦合神经网络的双边同步性；（6）解决了一种具有饱和发生率的新型易感-潜伏-感染-恢复（SEIR）时滞谣言传播模型的全局稳定性。为了更好的完成项目，着力解决Flag-型奇异积分算子性质问题，项目组申请延期2年。