非齐型空间上的Hardy空间

The classical theory of Hardy spaces, localized Hardy spaces and singular integrals plays an important role in various fields of analysis and partial differential equations. The new non-homogeneous spaces in the sense of Hyt?nen unifies two different types of spaces, namely, Euclidean spaces with a non-doubling measure satisfying a polynomial growth condition and spaces of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss. The applicant and his collaborators have already made some achievements on the real-variable theory of function spaces and the boundedness of operators on the new non-homogeneous spaces, especially establishing the atomic characterization and the molecular characterization of Hardy spaces Hp for 0＜p≤1. Based on the previous work, the present project aims to develop the real-variable theory of Hardy spaces Hp for 0＜p≤1 and localized Hardy spaces hp for 0＜p≤1 on the new non-homogeneous spaces, including the theories of duality, interpolation, various maximal functions characterizations, boundedness criterions of linear and sublinear operators and the atomic decomposition of localized Hardy spaces hp. As applications, this project will consider boundedness of singular integrals of Bergman type, fractional integrals, Marcinkiewicz integrals and commutators on the corresponding function spaces.

经典的(局部)Hardy空间理论和奇异积分理论在调和分析、复分析、偏微分方程、几何分析等众多数学领域中起着重要作用. Hyt?nen意义下的新的非齐型空间包含互不包含的Coifman-Weiss意义下的齐型空间和具有多项式增长的非倍测度欧氏空间，具有广泛的一般性. 申请人及其合作者已在上述新的非齐型空间上的函数空间实变理论和算子有界性的研究中取得一定的成果，特别地， 建立了Hardy空间Hp(0＜p≤1)的原子、分子分解特征. 本项目拟在原有工作的基础上，发展新的非齐型空间上的Hardy空间Hp(0＜p≤1)和局部Hardy空间hp(0＜p≤1)的实变理论，其中包括对偶空间理论、插值定理、各种极大函数特征、(次)线性算子在其上有界的有界性准则以及hp的原子分解特征等，并将其应用于Bergman型奇异积分算子、分数次积分、Marcinkiewicz积分及其交换子的有界性的研究中.

函数空间实变理论与算子有界性研究是经典调和分析的中心内容之一. 本项目在Hytönen意义下的新的非齐型空间上利用离散系数引进了一类原子Hardy空间和分子Hardy空间，给出了(次)线性算子在其上有界的有界性准则，由此证明了Calderón-Zygmund算子、广义分数次积分算子和Marcinkiewicz积分算子在其上的有界性. 在假设底空间测度满足ρ-弱双倍条件时，引进了Campanato空间，并证明该空间的定义与参数的选取无关；定义了另一类原子Hardy空间和分子Hardy空间，并证明了它们的等价性以及此类原子Hardy空间即为上述引进的Campanato空间的前对偶空间；回到经典欧氏空间，我们证明了以上各种Hardy空间的等价性. 需要指出的是本项目给出了底空间测度满足ρ-弱双倍条件的一个非平凡的例子. 此外，本项目也获得了由Calderón-Zygmund算子、广义分数次积分算子和极大Calderón-Zygmund算子和有限RBMO函数族生成的(多)线性交换子的有界性估计，特别地引进了与有限RBMO函数族相关的Hardy型空间，并建立了由Calderón-Zygmund算子和有限RBMO函数族生成的多线性交换子在该空间的有界性. 由于Hytönen意义下的新的非齐型空间具有广泛的一般性，因此本项目的研究具有重要的理论意义，所得成果丰富和发展了经典的Hardy空间实变理论.