有限域上多项式的T进指数和

We study the T-adic L-functions and C-functions associated to exponential sums of polynomials over finite fields. According to study the T-adic L-functions and C-functions, we study the classicial p-power order exponential sums, and the final object is to determine the p-adic properties of the zeros of those L-functions. Concretely, we are going to determine the p-adic Newton polygons of L-functions associated to the p-power order exponential sums and the T-adic Newton polygons of the C-functions generically. Moreover, we want to seek the relations between the p-adic and the T-adic Newton polygons, and then give a part answer for the conjecture proposed by C.Liu and D.Wan. By studying the T-adic exponential sums, we also expect to find a lower bound for the Newton polygons of the L-functions of exponential sums which is better than the classical Hodge bound. In particular, for the C-functions and L-functions that associated to some specific polynomials, we hope to determine their T-adic Newton polygons and p-adic Newton polygons precisely.

我们研究有限域上多项式的指数和的T进L函数以及C函数。通过研究T进L函数以及C函数来研究经典的有限域上多项式的指数和，包括p阶，p的方幂阶指数和，最终目标是确定这些L函数的的零点的p进性质。具体地说，对p的方幂阶指数和，我们要在generic意义下确定指数和的L函数的p进牛顿折线；对T进指数和，我们要在generic意义下确定C函数的T进牛顿折线，并且考察p进牛顿折线和T进牛顿折线的相应关系，从而可以给出C. Liu 和D. Wan提出的猜想的部分回答。对指数和的L函数，我们希望通过T进指数和这个中介找到它的牛顿折线的一个优于经典的Hodge折线的下界。特别地，对某些特殊形状的多项式情形，我们希望精确给出此时C函数的T进牛顿折线，从而精确给出L函数的p进牛顿折线。

我们主要研究Liu-Wan提出的有限域上的T-进指数和的一维多项式情形。旨在generic意义下给出有限域上一维多项式的T-进指数和的L函数的牛顿折线，确定该L-函数的零点的p-进和T-进性质，即确定相应的p-进与T-进牛顿折线。通过研究，我们得到的成果如下：.(1) 我们在generic意义下给出有限域上一维多项式的T-进指数和的L函数以及C函数的T-进牛顿折线，指出该折线是由多项式定义的算术折线确定，从而根据T-进指数和与p-进指数和的关系，得到经典的p-进指数和的相应结论。.(2) 对某些特殊形状的一维多项式，例如某类二项式等，我们在generic意义下得到相应的T-进牛顿折线的一个下界，并指出该下界要优于经典下界——Hodge折线；.(3) 我们研究了有限域上多项式的带扭指数和，在generic意义下得到一维多项式的带扭T-进指数和的T-进牛顿折线。通过比较，我们发现无扭指数和的T-进牛顿折线正是带扭指数和的无扭部分。.研究成果体现在$T$-adic exponential sums in one variable以及 Generic twisted T-adic exponential sums of polynomials，前一篇文章仍在修改，后一篇文章已投J.Number Theory，进入最后定稿状态，附件中有两位审稿人对该片文章的意见与建议。