拟爱因斯坦度量及相关问题

The theme of this project is to generalize the methods of global Riemannian geometry to better understand smooth metric measure space, which occurs naturally as singularity model for the Ricci flow. In particular,the focus is on the geometry and topology of smooth metric measure spaces with Bakry-Emery Ricci curvature bounded from below and quasi-Einstein metrics.The Bakry-Emery Ricci curvature is an important generalization of Ricci curvature for smooth metric measure space. Furthermore, the Bakry-Emery Ricci curvature plays important roles in a variety of topics such as the study of Ricci soliton, diffusion process, logrithmic Sobolev inequality, quasi-Einstein metric. The principal investigator will study quasi-Einstein metrics and related problems with new ideas about classical Riemannian geometry that arise in the novel setting of metric measure spaces, function theory, and the tools of geometric flows. Moreover, using curvature dimension inequalities theory and new ideas about studying smooth measure spaces with the tools of conformal geometry developed by Chang-Gursky-Yang-Case, this proposal is to investigate the classfication and rigidty of quasi-Einstein metrics and gradient Riccin solitons and interesting connections between them. This project advances our understanding of the geometry of manifolds, it will also contribute to a better understanding of many physical models.

本项目的目标是拓广整体黎曼几何方法来研究光滑测度空间。此空间作为Ricci流奇点模型存在。重点研究具有Bakry-Emery Ricci张量下界的和拟爱因斯坦度量的光滑测度空间的几何与拓扑。Bakry-Emery Ricci曲率是光滑测度空间的Ricci曲率重要拓广，更重要，它在研究Ricci孤立子、扩散过程、对数Sobolev不等式、拟爱因斯坦度量中占有重要地位。运用拓广经典整体几何方法、函数理论和几何流发展起来的技术来研究拟爱因斯坦度量及相关问题。特别地，运用curvature dimension inequalities理论和Chang-Gursky-Yang-Case发展用共形几何的工具研究光滑测度空间的思想来研究Ricci孤立子和拟爱因斯坦度量的分类和刚性及之间关系。本项目研究能促进对流形几何理解，也将有助于更好地了解许多物理模型。

近四年来，按项目计划我们取得一些成果：. 首先，在由Yamabe常数给出的曲率拼挤下，对具有正数量曲率的调和曲率流形，给出了最佳刚性结果。这改进了Hebey和Vaugon，Singer等学者的一些结果。作为其中一个应用，证明在L^(n/2)-拼挤条件下紧致梯度收缩Ricci孤立子等距于球面的商空间。这个结果改进了和拓广了Catino的结果。作为其中另一个应用，对于具有正常数量曲率的局部共形平坦黎曼流形，在一定曲率拼挤条件下，该流形是球的商空间或S^1×S^(n-1)。这个拓广了Gursky的结果。尤其，对四维流形，在由Yamabe常数给出的曲率拼挤下，给出了一些几何和拓扑的刻画。特别地，重新证明和拓广了Gursky的一些结果和Chang-Gursky-Yang 的共形不变球定理。. 其次，研究了紧致黎曼流形上一类非线性热方程和抛物方程的梯度估计，并给出这类方程的Hamilton型和Li-Yau型梯度估计。作为应用，得到一些Liouville型定理。研究了带有加权Poincaré不等式的完备光滑测度空间和完备Ricci孤立子，并且得到一些刚性结果。. 最后，研究了一些子流形的几何和拓扑问题。单位球面中Willmore曲面的刚性和极值超曲面的谱刻画。在第二基本形式满足一定整体拼挤条件下，欧氏空间中具有平坦法丛的完备超稳定极小子流形是平面。S_1^(n+1)中的Ⅲ型全脐和半脐洛伦兹等参超曲面的存在性和唯一性，给出了它们的解析表达式。