Teichmuller度量几何及其相关问题

In this project we will study the geometry of Teichmuller metric and the related extremal theory of quasiconformal mappings,including the problem on angles in Teichmuller spaces,uniqueness of geodesic disk,convexity of Teichmuller metric,the problem on common Hamilton sequences and the problem on extremal Beltrami differentials of landslide type ect. All these are essential and important in the geometry of Teichmuller metric. Any substantial progress in all these problems will contribute to a better understanding of the geometry of Teichmuller metric and the etremal theory of quasiconformal mappings. We have studied these problems for years and got some initial progress. These lay a foundation for us to realize the goal of this project.

本项目研究Teichmuller度量的几何以及以及与之相关的拟共形映射的极值理论，包括Teichmuller度量下的角度、测地盘的唯一性、Teichmuller度量的凸性，公共Hamilton序列、塌陷型Beltrami微分等问题的研究。这些都是Teichmuller度量几何中基础而重要的问题，这些问题的任何实质性进展有助于更好地理解Teichmuller度量的几何以及拟共形映射的极值理论。我们对这些问题已进行了多年的研究，并取得了阶段性成果，为我们实现研究目标奠定了基础。

测地线和测地盘的唯一性问题、Teichmuller空间的凸性是Teichmuller度量几何研究中的基本而又重要的问题，有关它们的任何实质性进展都有助于对Teichmuller度量几何的进一步理解。本项目主要研究了渐近Teichmuller空间中的这些问题，以及拟共形映射的极值理论中的相关问题。 . 我们证明了在万有渐近Teichmuller空间中，连接基点和任何非本性点的测地线段都有无穷多条，而且包含基点和任意一个非本性点的全纯测地盘都有无穷多个。同时我们还证明了在无穷小渐近Teichmuller空间中有类似结果。 . 为了研究Teichmuller空间的凸性，几年前我们就在Teichmuller空间中引入了角度的概念。本项目建立一个渐近Teichmuller度量的双无穷小形式, 在渐近Teichmuller空间引入了角度的概念，证明了测地射线之间角度的存在性，并给出了它们的精确的公式。同时我们也证明了在渐近Teichmuller空间中一般的相交测地线段之间这样的角度不一定存在，而且即使在存在的情况下，测地三角形的内角和可以取0到3π之间的任何一个数，这表明企图通过这样的角度去获得渐近Teichmuller空间的某中双曲性是困难的。. 我们还研究了极值映射中的公共Hamilton序列问题、塌陷的极值Beltrami微分的存在性问题、拟对称同胚的三角剖分扩张与强对称同胚的Douady-Earle扩张、模空间中的EDM射线、平面调和映射等。在这几方面我们取得了一系列的成果。. 此外，我们引入了Riemann球上多余4点的闭集的渐近Teichmuller空间的概念，证明了相应的同构定理，并证明了其上具有无穷维复Banach结构。