Toda系统和平均场方程的若干问题研究

Toda system and Mean field equation are in the frontier of nonlinear elliptic partial differential equations. Because of the close relation to the Plücker formula from complex geometry, prescribed Gaussian curvature problem and Chern Simons Higgs model, these two types of equations have attracted a lot of attention in recent years. Due to the lack of compactness and the special structure of the nonlinear term, there are many difficulties for this kind of equation. The study on the blow up phenomena is one of the core and difficult problems among all in nonlinear elliptic partial differential equations. In this project, we are mainly concerned with the blow up phenomena for these two equations. Specifically, we shall consider the degree counting formula of the Toda system, the existence of blow up solutions for the Mean field equation, and the local uniqueness of blow up solutions to the Gel'fand problem. The possible mathematical tools that will be used are the following: bubbling analysis, and the finite dimensional reduction method. The aim of this proposal is to help us get a better knowledge of the blow up theory on equations with exponential nonlinearity, and may provide the theoretical basis for further study.

Toda系统和平均场方程的研究是非线性椭圆型偏微分方程的前沿课题，这些问题与来自复几何中的Plücker公式、预定高斯曲率问题、Chern-Simons-Higgs模型等有着密切的联系，受到了广泛的关注。由于缺乏紧性条件和该类方程具有特殊形式的非线性项，此类问题的研究有很大难度。其中，爆破解的研究一直是该方向的难点问题，也是非线性椭圆型偏微分方程的核心问题之一。本项目将围绕此类方程的爆破现象开展相关问题的研究，内容包括：Toda系统拓扑度的计算，平均场方程爆破解的存在性以及Gel'fand问题爆破解的局部唯一性等问题。我们希望通过新思想的引入以及爆破分析、有限维约化等分析手段对于一些未解决的重要问题展开研究。本项目的研究将有助于进一步理解指数型非线性项方程的爆破理论，并为后续相关问题的研究提供理论支持。

本项目主要研究Toda系统与平均场方程解的定性性质，其中包括Toda系统拓扑度的计算，平均场方程爆破解的存在性以及Gel'fand问题爆破解的局部唯一性等问题。取得的结果主要包括：1. 针对带有多个奇异测度项的Toda系统，在2020年JDE的文章中我们利用合适的同伦变换使得耦合的系统能够分离，得到了带有简单奇异测度项Toda系统的拓扑度。我们相信此项工作在计算Toda系统拓扑度的后续研究中会起到相应的作用。2. 利用有限维约化的技巧以及精细的爆破分析估计，在2019年Ann. Inst. Fourier (Grenoble)的文章中我们分析了两个奇异项发生碰撞时的爆破现象并构造出相应的爆破解。3. 对于Gel'fand问题以及带有奇异项平均场方程的爆破解，在位置给定的情形下，我们借助Liouville方程全空间解的非退化性、Pohozaev恒等式等经典的椭圆技巧证明了爆破解的局部唯一性。利用该技术，我们也针对一类BEC模型证明了其能量极小值在一个旋转变换下是实值函数。这些成果不仅丰富了Toda系统以及平均场方程的理论，也将为后续相关问题的研究提供理论支持。