平均场随机微分方程解的回复性

Mean-field stochastic differential equations, also known as McKean–Vlasov equations, are Itô’s stochastic differential equations where the coecients depend upon the marginal distribution of the solution. The equations describes dynamical systems of large populations particles subject to a mean-field interaction, for example, propagation of chaos. Lasry and Lions formulated mean field games in their pathbreaking work. Hence, mean field stochastic differential equations and related problems are attracted by many authors. In this project, we will study reccurence of solutions for mean-field stochastic differential equations. Concretely, we will study the existence and uniqueness of almost periodic and almost automorphic solutions in distribution of mean-field stochastic differential equatons. Furthermore, we will study recurrence of solutions for mean-field stochastic differential equations driven by different kinds of noises. We will study almost periodic solutions and almost automorphic solutions in distribution of mean-field stochastic differential equations driven by Levy noise or fractional Brownian motion.

平均场随机微分方程，又称为McKean–Vlasov微分方程，该方程的系数依赖于解的分布。该方程描述大量相互作用粒子的动力学行为，如混沌传播(propagation of chaos)。Lasry 和 Lions在其开创性的工作中建立了平均场微分对策理论。因此，平均场随机微分方程及其相关问题引起了许多学者的关注。本项目拟研究平均场随机微分方程解的回复性。具体地，研究平均场随机微分方程依分布概周期解和几乎自守解的存在唯一性。进一步，我们还考虑在不同种类噪声驱动下的平均场随机微分方程解的回复性。我们将分别给出Levy噪声或分数阶布朗运动驱动的上述随机微分方程的依分布概周期解和几乎自守解。

该项目围绕平均场随机微分方程，随机Navier-Stokes方程、波方程等微分方程进行研究，研究了若干微分方程解的回复性问题。主要的研究成果如下：1：研究了分数阶布朗运动驱动的随机微分方程的几乎自守解，在一定的条件下，证明了该类随机微分方程依分布几乎自守解的存在唯一性。该方面的结果发表在Mathematische Nachrichten上。2：研究了分数阶布朗运动驱动的平均场随机微分方程的几乎自守解，当Hurst参数H满足1\2<H<1时，利用分数阶计算理论，讨论分数布朗运动驱动的平均场随机微分方程满足一定的条件时，该随机微分方程在分布意义下的几乎自守解的存在唯一性。该方面的结果发表在Stochastic Analysis and Applications上。3： 随机Navier-Stokes方程的时间周期解及其概周期解。利用Stokes算子在Lorentz空间中的耗散性估计，得到了随机Navier-Stokes方程依分布时间周期解的存在唯一性，进而得到了依分布概周期解的存在唯一性。该方面的结果发表在Mathematische Nachrichten上。4：研究了n维球空间中的半线性波方程多重周期解的存在性，利用变分法和鞍点缩减技术，对于任意空间维数n得到了至少三个周期解的存在性。该方面的结果发表在Advanced Nonlinear Studies上。5： 研究了系数带有x的一维半线性波方程周期解的存在性，当该类方程满足各种齐次边界条件时，利用变分法得到无穷多个周期解的存在性。该方面的结果发表在ESAIM Control Optim. Calc. Var. 上。6. 研究了系数带有x的半线性波方程多重周期解。利用变分法和鞍点缩减技术，当周期是空间间隔长度的有理倍数时，得到至少三个周期解的存在性。该方面的结果发表在Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A上。