模糊市场中的可转换债券定价

The convertible bond is an important financial derivative with the properties of the stock and the bond, and one of the best methods, through which we can solve the present contradiction in our country, that is the less raising capital way for the companies and the less investing way for people. The complete market assumption is imposed in most of the existing researches, which is far from the real market because the real market is incomplete and ambiguity. In this project, we will formulate the convertible bond pricing model under ambiguity market, and reveal the properties of the convertible bond pricing law, the price, the optimal strategies, and the hedging strategies, and analyze the difference between the model in ambiguity market and the one in complete market, and give its computing methods, computing programs, and do some empirical research about it. The mathematical works are as follows, a convertible bond pricing model is firstly formulated by the indifference pricing principle and the worst-case recursive utility function, and simplified as a non-zero-sum Dynkin game problem, and transformed into a variational inequality system by means of proving the corresponding verification theorem. The solution, the free boundaries and the derivative of the solution in the system corresponds to the price, the optimal strategies, and the hedging strategies in the original convertible bond pricing model, respectively. So, we will consider the existence and uniqueness of the solution of the variatinoal inequality system, and some properties of the solution, the free boundaries, and the derivative of the solution, such as the monotonicity with respect some variables and parameters. Moreover, the terminal points, some asymptotic properties of the free boundaries, some computing methods and empirical analyze will be studied in this project, too.

可转换债券是一种集股票和债券于一体的重要金融衍生产品，是解决我国目前存在的“行业融资缺口大与个人投资手段少”这一矛盾的重要手段。目前关于可转换债券定价的研究大部分基于完备市场假设，但真实市场是不完备的，模糊的。本项目在模糊市场假设下，对可转换债券的定价机制、价格、最优实施策略和对冲策略的性质进行深入的研究；分析完备市场假设下的模型与模糊市场假设下的有何异同；并给出可转换债券定价的计算方法和程序，进行一定的实证研究。从数学上讲：先用无差别定价原理和最坏情况下的递归效用建立可转换债券的定价模型；再简化为一个非零和Dynkin对策问题；证明验证定理，将之转化为变分不等式系统；研究解的存在唯一性、正则性，解(价格)、自由边界（最佳实施策略）和一阶导数(对冲策略)的估计、关于参数和变量的增减性，自由边界的终止点和渐近性质；与完备市场假设下的模型进行对比分析；给出其数值计算方法和程序，进行实证研究。

本项目研究的主要内容是：在模糊市场和不允许卖空的假设下，对可转换债券的定价机制、价格、最优实施策略和对冲策略的性质进行深入的研究；讨论完备市场假设下的模型是否真是模糊市场模型的很好近似；给出可转换债券的计算方法和计算程序，并进行一定的实证研究。.为此我们进行了如下研究：首先利用修改的效用无差别定价原理和Chen(Econometrica, 2002)中的递归效用建立定价模型---买价由两个正倒向随机微分方程的控制问题(含停时)的值函数通过隐函数确定，卖价也类似，然后买卖价格通过两个停时构成一个Dynkin对策问题。其中最优的控制对应最优的对冲、消费策略，最优的停时对应最优的回购和最优转换策略。为了彻底地解决该问题，研究价格和最优实施策略的性质，我们首先利用倒向随机微分方程的方法解决最优控制问题，给出买卖价格的倒向随机微分方程描述。从而该问题简化为一个由买卖价格为性能指标的标准非零和Dynkin对策问题。我们接着将该问题转换为一个变分不等式系统问题，此时买卖价格对应变分不等式系统的解，最优的实施策略对应变分不等式的自由边界。然后我们利用偏微分方程的方法研究了变分不等式系统问题。.在本项目中，我们主要为模糊和不允许卖空市场中的可转换债券建立了适当的定价模型；在适当条件下证明初始模型与相应标准非零和Dynkin对策问题的等价性；证明了相应的验证定理，说明变分不等式系统的解即为非零和Dynkin对策问题的值函数，即买卖价格；在适当条件下证明了变分不等式系统解的存在唯一性，并且获得了解和自由边界的一些性质，如：解和自由边界关于原生资产价格变量一阶导数的估计和单调性，自由边界的终止点和渐近性质；研究当模糊市场趋向完备市场时，相应问题的收敛关系；最后给出其数值计算方法，编写计算程序，并进行一定的实证研究。