一类不完备市场中的最优退休投资消费模型

Flexible retirement policy has been adopted by many countries, which is also one of the candidate schemes for postponing retirement in our country. Under this policy, the decision maker chooses the optimal investment and consumption strategy and retirement time to maximize his utility. The investment and consumption strategy and retirement time are generally described as control process and stopping time, respectively. And the model for the optimal investment and consumption problem with early retirement option is formulated as an optimal stochastic control problem. It is assumed that the financial market is complete in most of the existing research. But the investor is diverse, and the financial market is incomplete. In order to discover the impact of flexible retirement policy on various investors, we will consider the optimal investment and consumption with early retirement option problem in incomplete market, and analyze the impact of the parameters on the property of the optimal strategy. This problem will be formulated as a game problem with control constrain, where the stopping time is coupled with the control process. We will combine the dual method and the theory for partial differential equation to achieve some properties of the optimal strategy, and use the numerical method to show some numerical results.

弹性退休政策已被多国采用，也是我国延迟退休的候选方案之一。在该政策下，决策者可根据自身情况投资消费，选择合适的退休时刻。已有研究通常利用控制描述投资消费，利用停时描述退休时刻，将模型抽象为一个最优控制问题。目前的研究主要基于完备市场假设，但现实中参与人是多样的，市场是不完备的。如：不同参与人获取的信息是不一样的，因此他们对市场的看法是多样的、甚至模糊的；他们投资、消费的能力和理念也各不相同，从而其投资消费策略具有不同的限制。为了更加深入地认识弹性退休对不同参与人的不同影响，本项目将考虑不完备市场假设下的最优退休投资消费问题，研究各种参数对最优策略性质的影响。该问题可抽象为一个含有控制约束，停时与控制耦合的对策问题。其难点主要在于控制的约束、停时与控制的耦合、对策加大了对性质研究的难度。我们拟采用对偶变换与偏微分方程相结合的方法，从理论上揭示最优策略的性质，并通过数值方法获得相关的数值结果。

本项目研究了一类模糊市场中、投资消费存在约束的最优退休投资消费模型。模型假设决策者对市场的认识存在模糊，拟合出的风险资产价格的期望回报和波动率参数不确定，取值于某个区间；而且假设决策人在市场中投资风险资产的金额和消费率具有一定的约束条件，取值于某个区间；决策人在市场中投资和消费；在退休前领取工资，在退休后没有工资；决策人可以根据自身情况，在一定范围内选取合适的退休时刻、投资消费策略，使得在最坏的参数情形下的期望效用最大。.该模型被抽象为一个含有控制约束，停时与控制耦合的对策问题，其中退休时刻被抽象为停时；投资消费策略被抽象为控制，参数也对应为控制，这两种控制取值均位于某个区间，具有一定的约束条件，而且前者使目标最大，后者使目标最小，因此具有一定的对策特征；它们都与停时耦合在一起，加大了问题的难度。.本项目从简到繁，研究了如下的五个具体问题：.(1) 只存在消费约束的问题；.(2) 只存在投资约束的问题；.(3) 同时存在投资消费约束的问题；.(4) 只存在市场模糊的问题；.(5) 市场存在模糊、投资消费均存在约束的问题。.对于问题(1)，在一般条件下给出了验证定理，证明了对偶变分不等式强解的存在唯一性，并证明了最优投资消费策略和最佳退休时刻的一些性质，给出了一些数值结果。.对于问题(2)和(3)，在CARA效用函数的假设下，建立了验证定理和对偶变分不等式强解的存在唯一性，并证明了最优投资消费策略和最佳退休时刻的一些性质，给出了一些数值结果。.对于问题(4)和(5)，在CARA效用函数的假设下，证明了验证定理和对偶变分不等式强解的存在唯一性，并利用数值结果展现了最优投资消费策略和最佳退休时刻的一些性质。.本项目完成了预期的目标，获得的结果具有如下意义：.(1)关于最优投资消费策略和最佳退休时刻的性质结果，可以让决策人了解弹性退休的运行机制，为他们提供合适的退休、投资和消费策略；也可以为我国延迟退休政策的制定提供一定的参考。.(2) 本项目采用的数学方法和获得的数学结果可以拓展随机控制的理论，解决一类同时含有控制约束、停时与控制耦合、对策特性的问题。