几类具有多个正平衡点的时滞捕食系统分析

The bifurcation and qualitative theory of differential equations has an important applictaion in study the dynamical properties of biological species, the research in this aspect not only can insight the interactions of populations, but also can combination every mathematical subjects. This project is mainly from the following several aspects to study the properties of several classes three species predator prey systems with multiple positive equilibria: 1. when the systems are autonomous ODEs, by using the center manifold theorem to reduce the systems to two dimensional systems, then do the bifurcation analysis to two species systems, this type systems may be exhibit the chaos phenomenon. 2. when the systems with delay dependent parameters, to estimate the stability of the equilibrium it needs to compute the distribution of the roots of the characteristic equation, using the center manifold theorem and normal form theory of functional differential equations can do Hopf bifurcation analysis. 3. when the systems with reaction diffusion and delay dependent parameters, we will analyze the Hopf bifurcation and stability, traveling wavefronts problems. Through our work, the properties of some more general three species systems will be known more.

微分方程分支和定性理论在研究生物种群的动力学性质中具有重要的作用，这方面的研究不但可以对种群间的相互作用有深刻的认识，还可以使数学的各个学科分支得到较好的综合应用。本课题主要从以下几个方面对几类具有多个正平衡点的三种捕食系统的性质进行研究：1. 当系统是自治常微分方程模型时，可以应用中心流形定理，对系统进行降维，从而转化为对两种群系统的分支分析，这类系统有时会出现混沌现象; 2. 当系统是具有时滞依赖的模型时，需要计算特征方程的根的分布情况判断平衡点的稳定性，应用到泛函微分方程的中心流形定理和标准型理论可以进行Hopf分支分析。3. 当系统具有反应扩散和时滞信赖参数的模型时，分析系统在平衡点附近的Hopf分支及稳定性、行波解问题。通过本项目的研究工作的开展，可以对一些更一般的三种群系统的性质有深入的认识。

该项目资助年限为一年, 在课题组成员的共同努力下, 微分方程分支理论及其在生物数学中的应用已取得一些成果,公开发表sci 论文4篇。这些论文分析了一些捕食系统的稳定性,极限环的存在唯一性问题; 考虑了不带时滞且具有多个正平衡点的捕食系统的多种分支问题; 研究了带有单个离散时滞的多个正平衡点的捕食系统的Bogdanov-Takens分支和三重零奇异分支的存在性，并给出相应标准型和普适开拆，进而给出在内部平衡点附近可能出现的分支现象,便于我们更好人认识系统的动力学性质。有一些最新成果已经投稿,还有一些新的内容我们正在深入研究。通过对该课题进行研究,已能够很熟练的应用时滞微分方程的中心流形简化的规范型理论对具有多个内部正平衡点的时滞捕食系统进行多种分支分析。所得的一般理论可能还可以用来研究更高维的生物种群的动力学性质,对种群间的相互作用有深刻的认识。