泛函不等式与随机微分方程上的大偏差问题

This project will be devoted to the research on functional inequalities in probability theory: including for hypoelliptic operators, stochastic partial differential equations in path spaces, such as reaction-diffusion eqaution delay system, Burgers equation, Navier-Stokes equation etc, and some significant measures and distributions with parameters，such as harmonic, Moebius, Boltzmann measures and Cauchy distributions etc, by which we may confirm the known relation between log-Sobolev inequality and transportation inequality. Besides, the large, moderate deviation principles and central limit theorems on SDE with small random perturbation will also be considered.

该项目主要研究概率论中的几个泛函不等式，这其中包括亚椭圆算子的泛函不等式，随机微分方程，如反映扩散方程，滞后系统，Burgers方程，Navier-Stokes方程等轨道空间上的泛函不等式以及一些含参变量的具有实际意义的测度和分布,如调和测度，Moebius测度，Boltzmann测度，柯西分布等的泛函不等式，并由此进一步印证对数Sobolev不等式与传输不等式的严格强弱关系。此外，我们还将研究带随机小扰动的随机微分方程上的大偏差，中偏差，中心极限定理。

泛函不等式大偏差理论是随机分析中的一个重要分支，也是研究马氏过程遍历性的一个基本方法：其中不等式是研究测度的集中现象以及随机扩散过程长时间行为的重要工具；而大偏差理论为研究随机动力系统提供了一种有效的尾概率估计与收敛速度估计。. 本项目不等式部分主要涵盖了庞加莱不等式，传输不等式，对数Sobolev不等式，Sobolev不等式，Harnack不等式，研究问题主要集中在球面上的含参变量测度与随机微分方程上。关于球面上的测度的研究上，我们给出了相关不等式常数关于参数速率变化的精确估计，并通过这些估计可以很好的演示这几个不等式之间的强弱关系；关于球对称测度的研究，也给出了非常漂亮且精确的谱估计。相关结果分别发表在数学类很有影响的Journal de Mathematiques Pures et Appliquees（影响因子1.936）， Journal of Functional Analysis（影响因子1.490）等杂志上。本项目的大偏差理论部分研究了随机Volterra方程，给出了其上的中偏差原理，结果发表在Statistics & Probability Letters杂志上。