随机矩阵的大偏差及其在泛函不等式中的应用

该项目研究大偏差原理和泛函不等式两个看似独立实际上有密切关系的基本问题. 着重研究马氏过程中某些重要模型的log-Sobolev型不等式、传输信息不等式等泛函不等式, 通过这些不等式来研究相应模型的遍历性、偏差不等式等, 以偏差不等式为工具研究马氏过程的大偏差. 同时给出log-Sobolev型不等式、传输信息不等式、Poincare不等式等泛函不等式之间的关系. 另外，拟利用随机矩阵逼近的方法和传输方法证明泛函不等式在自由概率理论中的对应物-自由泛函不等式以及这些不等式之间的关系. 泛函不等式刻画了相关数学物理模型的遍历行为, 也为很多相关问题的研究提供强有力工具.

本项目着重研究了不同模型和不同测度的泛函不等式以及传输不等式。首先，我们考虑了n维欧式空间中单位球面上的双参数的调和测度族，研究了相应的对数Sobolev不等式和庞加莱不等式的最优常数。证明了庞加莱常数本质上仅依赖维数n， 而对数Sobolev最优常数则更复杂，依赖于两个参数的交互作用。然后，对于d维空间的随机微分方程的解这一扩散过程，我们基于某些假设，利用耦合方法，证明了对于时间段[0，T]上的轨道过程的所有李普希兹泛函，均有凸集中不等式成立并推出了相应的传输不等式。这个结果，推进了D-G-W三人在概率年刊上的文章中的结论。另外，对于带非时齐泊松跳的广义Black-Scholes模型，获得了固定敲定价格亚式期权的下界的精确表达。我们的模型更符合实际市场规律。我们还得到了格系统上Gibbs测度对应的无穷维扩散过程的鞅解的唯一性。本项目期间发表了五篇文章。另有一篇文章在准备之中。