辛求解体系下功能梯度材料结构的解析研究

With the increasing applications of functionally graded materials (FGMs) in modern engineering, the mechanics of FGM structures has received considerable interest, however, most of the available studies based on the typical method developed for conventional homogenous material. The symplectic approach is extended to study the plane analysis of FGM straight and curved beams, and the 3D exact analysis of FGM circular cantilevers. Through Hamiltonian variational formulation, the appropriate state-space framework is established by composing the displacements and the new associated stress components as the dual variables. A complete rational analysis is obtained by using the method of separation of variables along with the eigenfunction expansion technique. The original problem is transform to an eigenproblem, in which the eigenvalues and eigensolutions are determined in detail. The Saint-Venant solutions and the decaying solutions which are usually covered up by the Saint-Venant principle can be described uniformly. For the FGM curved beam, the particular solutions for arbitrary inhomogeneous lateral boundary conditions are also considered in the space-state form. Upon delineating the symplecticity of the formulation, the 3D exact solutions of a FGM circular cantilever beam under extension, torsion and bending are obtained. The modified symplectic analysis is developed for mechanics problem of the FGM structures, which will greatly enrich the current analysis methodology for heterogeneous materials and structures. Also, accurate displacement and stress distributions of the structures are obtained, thereby, the local effects and applicability of the solutions the simplified analytical methods and the numerical method can be evaluated.

功能梯度材料在诸多工程领域具有广阔的应用前景，因而其结构的力学问题得到了广泛的关注，但目前的研究多基于传统的力学分析方法。本项目将辛求解方法扩展应用于功能梯度材料结构的解析研究，分别针对材料特性沿厚度方向梯度变化的平面直梁和曲梁，以及特殊功能梯度材料结构的三维问题，借助积分变换等手段，选择合适的位移和应力分量作为基本未知量建立状态空间架构，利用分离变量和本征展开的方法进行系统的理论分析。通过讨论本征方程的重根情形，将本征根分类求解，建立问题的圣维南解和因引入圣维南原理而缺失的解的统一描述；在辛分析的统一列式下，求解任意侧边边界条件下曲梁问题的特解；探讨简单荷载作用下功能梯度材料结构的三维解析解。本项目的开展，将辛解法推广应用于非Hamilton系统的力学分析，提出不同于已有辛本征分析的全新求解方法；同时，可以准确把握结构位移和应力的精确分布规律，为现有简化分析和数值模拟提供参照。

随着科学技术发展的突飞猛进，人们对材料性能提出了更高的要求，功能梯度材料（FGMs）作为一种多相复合的非均匀材料，其组成和微观结构的梯度变化可以满足在材料或结构内部的不同部位实现不同功能的需要，从而能够优化材料或结构的整体性能。近几十年来，功能梯度材料结构的力学问题也得到了广泛的关注，但目前的研究多基于传统的力学分析方法。. 本项目在哈密顿体系下对功能梯度材料结构进行解析研究，在初步构建功能梯度材料辛求解架构的基础之上，将辛求解方法逐步扩展应用于更为一般的非均匀材料结构问题中。首先，获得了指数类功能梯度材料（轴向、横向及双向功能梯度材料）平面问题的二维解析解，针对任意形式的非自由侧边边界条件，建立统一理性的求解思路。其次，针对材料常数沿环向指数形式变化、以及沿径向幂函数形式变化的FGM平面曲梁，开展复杂边界条件情形特解的分析方法研究；同时，将相关研究方法推广到功能梯度材料结构的三维分析中，形成更为完备的分析体系以拓宽求解范围。. 项目研究取得了预期的结果，构建了功能梯度材料平面梁在任意边界、任意分布载荷情形下的辛求解架构，研究了材料的非均匀性对结构位移和应力分布的影响；将辛求解体系发展应用于功能梯度材料结构的三维分析中，形成更为完备的分析体系，拓宽了求解范围。同时，为有效解决传统的辛求解公式在数值求解过程中的矩阵病态问题，对平面梁的端部边界条件进行处理，利用本征向量间的共轭辛正交关系求解展开式中的系数。. 针对功能梯度材料结构力学分析的相关研究，可以准确把握功能梯度材料结构位移和应力的精确分布规律，不仅具有重要的理论价值，为现有简化分析和数值模拟提供校验依据，也将进一步为功能梯度材料结构的优化设计提供参考依据。