局部扩散与非局部扩散强耦合系统的传播特性

Based on population model and the latest development in this field, we study the pulsating traveling waves, minimal wave speed, spreading speed, and the difference of spreading speed between the unbounded region and the free boundary of a strong coupling system with local and nonlocal diffusions in periodic habitats. Since the system has the strong coupling feature, nonhomogeneity, non-regularity and the solution operator loses smoothness and compactness as well as the singularity of traveling waves in finite time, we will develop new methods and techniques. For example, using the exact solutions to investigate the qualitative behavior of analytical solutions, using the compact operator to approach non-compact operator, using the regular problems to disturbe irregular problems, using the linear system to squeeze nonlinear system. We also apply the homotopy perturbation method, Laplace transformation and Fourier spectral method to estimate the minimal wave speed. The conclusions will show the proper diffusion mechanism for population survival and mathematical control strategy to prevent the loss of species diversity.

本项目拟从种群生态学模型出发, 围绕国内外最新发展动向, 研究周期空间环境下局部扩散与非局部扩散强耦合系统的脉动行波解、最小波速和渐近波速，并比较无界区域与自由边界两种情形下的渐近波速。鉴于该系统具有强耦合性、非齐次性、椭圆问题无正则性、解算子失去光滑性与紧性，以及行波解在有限时间出现奇异性等特征，我们将发展新的方法与技巧。例如，通过构造显示解辅助研究解析解的定性性态；应用紧性算子逼近非紧性算子；添加局部扩散小扰动化非正则问题为正则问题；采用线性系统上下挤压非线性系统技巧研究渐近波速；利用同伦扰动法、Laplace变换、Fourier谱方法估计最小波速。研究结果将揭示适合种群持续生存的扩散机制与相应的数学调控策略，防止物种多样性丧失。

本项目针对几类局部扩散、非局部扩散弱耦合系统其稳态解的全局渐近稳定性，行波解的存在性、唯一性、单调性、稳定性、渐近性态，最小波速和渐近波速的关系以及它们在生态平衡方面的应用进行了深入的研究，旨在探讨各类时滞反应扩散系统、局部扩散与非局部扩散耦合系统的时空复杂性。项目以9篇论文作为研究成果，其中发表或录用的文章有6篇，SCI收录3篇。本项目的研究成果具有如下特色：第一，在研究行波解的存在性时，利用构造波系统合适的截断问题，以波系统的上解构建截断问题的解序列，证明解序列的极限即为行波解，这种方法与常用的上下解方法结合不动点定理的显著区别在于无需构造下解。第二，在考虑行波解的渐近性态、唯一性、单调性、稳定性等问题时，由于考虑的系统具有一般性、非线性、反应函数非单调以及非局部扩散与非局部时滞双重出现等特点，我们需要发展一些新的技巧，例如构造新的辅助方程等。第三，在研究渐近波速、最小波速时，我们通过定义新的核函数，化微分-积分系统为单个积分方程，利用鞍点法、压缩凸集以及渐近逼近等技巧研究渐近波速与最小波速的关系。研究结果表明，当种间作用不大时，小范围的非局部扩散更具有竞争优势，非局部时滞并不影响临界波、非临界波的存在性、单调性以及渐近性态，不同物种间的迁移率与该物种能否持续生存密切相关。