非局部扩散系统的行波解和整体解

Recently, nonlocal dispersal equations have widely applied to ecosystem, epidemiology, materials sciences and so on. However, the effect of nonlocal dispersal not only leads to mathematical difficulties, but also essential changes of dynamics.Therefore, it is more meaningful and valuable in theory and practice to study such equations. This program will study entire solutions of nonlocal dispersal equation sets and taveling wave solutions of nonlocal dispersal equations in high dimensional space. The entire solutions of nonlocal dispersal equation sets will be established by constructing appropriate subsolutions and supersolutions and using comparison principle. In addition, the continuity, stability and so on of entire solutions will be obtained by Fourier transformation. The existence and some properties of traveling wave solutions will be obtained by maximal principle and spliding techniches or using comparison principle. Before this, we have studied traveling wave solutions and entire solutions of nonlocal dispersal equations in one-dimensional space. In this project, we will perfect and deepen the study of the dynamics of nonlocal dispesal systems, and hope to provide theoretical basis for deeply understanding the dynamics of this system in high dimensional space.

近年来非局部扩散方程开始广泛地应用于生态学、流行病学等学科的研究领域中。空间的非局部性不但导致了数学理论研究上的困难而且引起了动力学行为上的本质改变。因此，建立其系统理论是非常重要而有实际意义的课题。本课题计划研究非局部扩散方程组的整体解及其性质和高维空间中非局部扩散方程的行波解及相关性质。本项目将通过构造合适的上下解，运用比较原理建立方程组的整体解，并结合傅里叶变换等方法研究整体解关于参数的连续依赖性、稳定性等性质。拟利用最大值原理、平面滑动技术或比较原理证明方程行波解的存在性并获得相关性质。前期我们已经研究了一维空间中非局部扩散方程的行波解和整体解。本课题将完善和深化对非局部扩散系统动力学行为的研究，希望通过本课题的工作，为进一步理解高维空间中该系统的动力学行为提供理论依据。

近年来非局部扩散方程开始广泛地应用于生态学、流行病学等学科的研究领域中。空间的非局部性不但导致了数学理论研究上的困难而且引起了动力学行为上的本质改变。因此，建立其系统理论是非常重要而有实际意义的课题。本项目已取得的研究成果包括:研究了非对称非局部扩散方程的整体解，证明了非局部扩散方程的核函数不对称时整体解的存在性并研究了相关性质。特别地，证明了非局部方程在核函数不对称的情况下，整体解表现出了不同于核函数对称时方程的整体解的性质。另外证明了对称方程的整体解是高维流形且平移唯一。此外考虑了高维空间中空间时间非局部时滞方程的行波解。本项目还研究了非线性函数的多种非线性指标的折中问题。本项目的研究对于进一步理解非局部扩散系统的动力学行为具有较好的理论参考价值。