非单调扩散系统在周期时空环境的传播特质

Based on the population model and the current development in this field, we study the periodic traveling wave solutions，pulsating traveling wave solutions and the characterization of minimal wave speed and spreading speed of nonmonotone and higher dimensional diffusion systems. Under this project, we answer a question: can monostable diffusion system without monotonicity be linear determined? Since the system has the coupling feature, nonhomogeneity, nonlinearity and the semiflow generated by it is no order preserving, we will develop new methods and techniques. For example, using the exact solutions to investigate the stability and oscillation of analytical solutions, using the theory of monotone control and embeding the nonmonotone system into monotone system to establish the comparison principle, using the Leray-Schauder degree and inertial manifold to study the periodic traveling waves. We also use a negative-side Laplace transformation to instead of the two-sides Laplace transformation for studying the nonexistence of traveling waves. By summarizing the spreading behaviors of native and alien species, we show how to utilize the periodically seasonal law and habitats so that the different species can survive and prevent the loss of species diversity.

本项目拟从种群生态学模型出发, 围绕国内外前沿发展动态, 研究周期时空环境下高维非单调扩散系统的周期行波解、脉动行波解、最小波速、渐近波速的特征表示，并部分回答一个公开猜想：单稳非单调扩散系统是否具有线性确定性？鉴于该系统生成的半流不具有保序性以及系统本身的耦合性、非齐次性、非线性等复杂因素，我们将发展新的方法与技巧。例如，通过构造显式解辅助研究解析解的稳定性与振动性；应用非单调系统嵌入对称单调系统，结合单调控制理论建立比较原理；利用Leray-Schauder度结合惯性流形研究非齐次环境的周期行波解；运用负向单边Laplace变换代替以往文献中双边Laplace变换验证行波解的不存在性。通过本项目的研究，总结本地物种的扩散传播特征及外来物种入侵波的特性，探求如何应用周期季节规律，人为构建周期栖息地，使得不同物种能持续生存，防止生物多样性的丧失。

本项目研究传染病模型等高维非单调扩散系统，种群模型等拟单调、非单调积分-偏微分系统，非线性非单调演化方程(组)以及其它非局部扩散问题的各种各样的行波解的存在性、唯一性、单调性、指数稳定性、轨道稳定性等问题。同时，我们研究了该类系统的渐近传播速度与最小波速的关系以及它们的特征表达式。我们的结论表明在一定条件下单稳非单调扩散系统具有线性确定性。项目以19篇论文作为研究成果，其中发表或录用的文章有17篇，投出文章2篇，SCI收录文章13篇，北大中文核心文章3篇。本项目的研究成果具有如下特色：第一，由于我们所研究的非单调扩散系统具有高维性、非局部扩散算子、非局部时空效应以及解的所有分量失去单调性，在证明行波解的存在性、唯一性和稳定性等问题时非常困难。我们需要发展一些新的技巧与方法，例如Lyapunov泛函方法、Lyapunov-Schmidt约化方法、Laplace变换、Cauchy积分定理、Kato-Rellich摄动定理等等。第二，由于时空环境是周期结构或更一般的非均匀结构，在研究渐近传播速度的存在性以及渐近传播速度与存在行波解的最小波速之间的关系，特征值问题的分析并非易事，在这里我们必须发展一些新的Harnack不等式、广义特征值理论或渐近特征值理论。第三，无论是考虑行波解的存在性还是渐近传播速度的存在性，相应系统都需要构造上下解。而我们所研究的系统常见的上下解并不适用，所以我们也发展了一些有序上下解的构造技巧。第四，在进行数值模拟时，由于含有非局部扩散算子、非局部时空效应以及时空非均匀结构，传统的离散法并不能保证数值解收敛，所以我们提出了一些新的离散方法与积分近似迭代运算。我们的工作一方面丰富了偏微分方程现有理论，另一方面对于传染病的防控、种群的持续生存与生物多样性的维持、光导纤维与激光等领域的深入发展具有一定的现实意义。