非局部扩散竞争系统的自由边界问题

Free boundary problems is intensively studied in nowadays. It has been widely used to describe the spreading front of the species in reaction-diffusion models. Note that various kinds of this problems can illustrate the strong dependence of the dynamics of the solution on the initial data as well as detailed forecast of the future location. We will focus on the dynamics of a class of nonlocal diffusive competitive model with free boundaries, including the well-posedness of the solution, long-time behavior, sharp criteria and the estimate of the asymptotic spreading speed. Firstly, we use the contraction mapping theorem to demonstrate the global existence and uniqueness of the solution, and then combined the comparison principle to propose the long time behavior. Further, we use the semi-wave solution together with the sliding method to obtain the spreading speed when spreading happens. Secondly, we will check the effect of the environment heterogeneous by the pulsating semi-wave that established by the associated space-periodic traveling wave front and the suitable comparison principle. We are aim to give a better understanding of the spreading mechanism of the involved competitive species, and get some new development and ideas of free boundary condition use in the nonlocal systems.

自由边界问题因其强有力的应用背景一直是近几年众多学者关注的热点。尤其在反应扩散方程的研究中用以描述物种的传播前沿时，不仅能详细地阐述物种的传播机制与初值的依赖关系，还能精确预测物种的具体位置。本项目拟以非局部扩散竞争系统为研究对象，用自由边界描述其传播前沿时对系统解的适定性，解的渐近行为，临界准则及传播速度等基础科学问题进行研究。重点考察具有不同边界条件的非局部扩散竞争系统，利用压缩映像原理推导有界正解的全局存在唯一性；同时利用比较原理对解的长时间行为进行刻画；进而利用半波讨论其渐近传播速度；进一步通过考察空间周期半波解的存在唯一性研究空间异性对系统的影响。该类问题的讨论中，克服非局部算子紧性的缺失对解的光滑性带来困难的同时，还要考虑两物种相互作用即系统耦合项对问题解的存在性所带来的挑战。本项目的研究对加深非局部扩散系统物种传播机制的理解，丰富自由边界条件在非局部问题中的发展具有重要意义。

本项目紧密围绕自由边界问题，以非局部扩散竞争系统为研究对象，用自由边界描述其传播前沿，进而对系统解的适定性，解的渐近行为，临界准则及传播速度等基础科学问题进行研究。重点考察了具有不同边界条件的非局部扩散竞争系统，利用压缩映像原理推导有界正解的全局存在唯一性；同时利用比较原理对解的长时间行为进行刻画。因其强有力的应用背景，自由边界问题一直是近几年众多学者关注的热点。特别在反应扩散方程的研究中用以描述物种的传播前沿时，不仅能详细地阐述物种的传播机制与初值的依赖关系，还能精确预测物种的具体位置。该类问题的讨论对加深非局部扩散系统物种传播机制的理解，丰富自由边界条件在非局部问题中的发展具有重要意义。 . 首先，本项目讨论了带自由边界的非局部扩散 Lotka-Volterra 竞争系统的空间动力学行为。其中，对原定研究计划中该系统解的全局存在唯一性及解的渐近行为部分取得了一定进展，包括系统解的依赖于初值的“扩张-灭绝二分性”，以及两物种竞争强弱程度(强强、弱弱、强弱、弱强)对该类问题的影响。对于原定计划中解的渐近传播速度以及周期环境中周期半波的存在唯一性部分仍在持续研究中。. 其次，项目负责人作为主要合作者讨论了一类非局部SIR传染病模型的自由边界问题。通过两次使用压缩映像原理得到对应问题解的适定性。和经典的传染病模型一样，引入基本再生数，通过比较基本再生数和关键参数及单位1的大小，给出了疾病最终传播甚至形成地方病或者消失的完整刻画。该问题的讨论为后期各类非局部传染病的时空传播奠定了理论基础。再次，项目负责人作为主要合作者讨论了在非齐次周期演化区域上的一类鸟类-槲寄生模型的空间动力学。该问题中扩散是局部的，利用比较原理得到了解的完整的动力学行为。特别地，文章最后部分还通过数值模拟对已有结论进行了验证。