三阶分圆多项式以及其它数论问题

This project is focused on the coefficients of ternary cyclotomic polynomials and inverse ternary cyclotomic polynomials. Let $p<q<r$ be odd primes. It mainly includes the following parts: (1) Families of flat (inverse) ternary cyclotomic polynomials have been constructed but a complete classification is not known. Let $p<q<r$ be odd primes such that $zr\equiv\pm1\pmod{pq}$, where $z$ is a positive integer. We will classify all flat ternary cyclotomic polynomials $\Phi_{pqr}(x)$ in the cases $3\leq z\leq 9$. We also investigate the flatness of inverse ternary cyclotomic polynomials in the case $r\leq\phi(pq)$. (2) We will derive a formula for the maximum gaps and number of maximum gaps of ternary cyclotomic polynomials and improve the bounds for the maximum gap of inverse ternary cyclotomic polynomials in Hoog et al. [J. Number Theory, 132 (2012), pp. 2297-2315].

本项目研究三阶分圆多项式和三阶逆分圆多项式的系数分布问题。设$p<q<r$为奇素数。具体内容如下：(1) 三阶(逆)分圆多项式的平坦性已经被广泛研究，但是并未被完全解决。设$p<q<r$满足$zr\equiv\pm1\pmod{pq}$，其中$z$为正整数。计划完整刻画三阶分圆多项式$\Phi_{pqr}(x)$在$3\leq z\leq 9$时的平坦性；并进一步研究在$r\leq\phi(pq)$时，三阶逆分圆多项式$\Psi_{pqr}(x)$的平坦性，在较弱的条件下，给出三阶逆分圆多项式平坦的充分必要条件。(2) 给出三阶分圆多项式系数最大间距以及其个数的具体计算公式；改进 Hoog et al. [J. Number Theory, 132 (2012), pp. 2297-2315]中关于三阶逆分圆多项式的最大间距的上下界。

分圆多项式是代数数论中古典而又新颖的课题。在本项目中，我们研究了三阶分圆多项式和三阶逆分圆多项式的平坦性、高度和最大间距等问题。具体如下：(1) 在一定条件下给出了几类三阶分圆多项式平坦的充分必要条件；(2) 给出了一类无穷多的高度为3的三阶分圆多项式；(3) 证明了一类三阶分圆多项式的系数的最大值为1，部分解决了D. Broadhurst关于三阶平坦分圆多项式的猜想；(4) 在一定条件之下，得到了三阶分圆多项式的最大间距以及最大间距个数的公式。本项目所得结果能统一已知的一些经典结果，丰富分圆多项式的理论体系，进一步推广分圆多项式在代数数论等方面的应用。