哈密顿系统退化低维KAM环面与KAM理论若干问题研究

This project concerns with three problems. The first is about the KAM theory and KAM theorem in degenerate case. This is a very difficult problem. So far there is a few results on this problem. By this project we hope to develop some new KAM technique and method for degenerate Hamiltonian systems, reversible systems, as well as symplectic mappings, and prove some KAM theorems in degenerate case. The second problem is about infinite dimensional KAM theory for Hamiltonian PDE, and we mainly consider a class of generalized Boussinesq swallow-water wave equations. We want to study on small osillator quasi-periodic solutions with finite frequencies and infinite frequencies for general nonlinear terms and periodic boundary conditions. We also consider the behavior of long time of solutions and the effective stability near the invariant tori. The last one is about variation method and critical theory, by which we consider the existence of ground state, stationary solutions, normalized solutions and multiple solutions for several classes of elliptic equations such as Schrodinger equations, Kirchhoff equations and etc. We hope to generalize some results to cases of general nonlinearity and potential.

本项目主要涉及三个问题。 第一个问题是考虑具有退化情形的KAM理论和KAM定理。这是一个比较困难的问题，目前的结果还不多。 希望通过这个项目为研究哈密顿系统，可逆系统 和辛映射问题中有关退化低维不变环面在小扰动下的保持性问题， 发展一些新的 KAM技巧和方法, 证明一些新的KAM 定理。 第二个问题是关于哈密顿偏微分方程的无穷维KAM理论，我们主要考虑一类广义Boussinesq 浅水波方程在更一般非线性项和周期边值条件下有关小振幅的j有有限个频率和无穷多个频率的拟周期解问题。同时还要考虑在不变环面附近的解的长时间行为和有效稳定性问题。最后是关于变分方法和临界点理论的问题，我们主要利用各种变分方法的技巧研究几类椭圆方程， 如Schrodinger 方程和方程组， Kirchhoff 方程和方程组等，在更一般的非线性项和位势函数条件下， 基态解、 稳态解、 规范解和多解的存在性问题。

本项目通过课题组成员的共同努力，经过四年刻苦攻关，顺利完成了预期的目标。 共发表学术论文二十余篇，培养了一名硕士和三名博士生毕业。在此期间获得2019年度教育部自然科学二等奖。本项目主要取得了如下几方面的成果。 首先， 在退化的哈密顿系统低维不变环面， 取得了突破性进展。 在没有对扰动加任何条件下， 证明了双曲退化和椭圆退化低维不变环面的保持性。然后，通过对可逆系统的研究，得到了双曲退化 低维不变环面的保持性。此外， 我们对丢番频率的双曲退化和椭圆退化拟周期系统，也取得了新的突破， 证明了二维情形的双曲型完全退化系统的响应解的存在性。 此外，我们还把上述退化问题推广到更一般的退化情形， 证明了类似的结果。我们还考虑了具有刘维尔频率的退化拟周期系统，证明了系统的可约性和响应解的存在性。对退化的保积映射我们证明了非扭转的Moser定理， 且把它应用到二阶系统的拉格朗日稳定性， 去掉了以前假设的非退化条件，极大地改进了已有的结果。我们还通过一个乒乓的力学模型研究了Moser定理不成立的反例。本项目还考虑了几类无穷维哈密顿系统， 对浅水波方程等一些哈密顿偏微分方程的小振幅拟周期解等问题进行了深入的研究， 在更加一般的非线性项的假设下， 证明了小振幅的拟周期解的存在性。此外，　我们还利用无穷维KAM理论，证明了一个无穷维的李雅普诺夫中心定理，　推广了有限维情形的结果。